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--- faecher:mathematik:mathebuch:gleichungen_mit_einer_variablen [2017/04/04 20:03]
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 Der Sinn von Gleichungen besteht u.a. darin, mit ihrer Hilfe den Zahlenwert einer Variable zu finden.
 Unser Ziel ist erstmal, genau die Zahl herauszufinden, die man einsetzen muss, damit die Gleichung stimmt. Diese Zahl ist dann die Lösungsmenge L, vereinfacht "x (oder eine andere Variable) = Zahl" .
 Ein einfaches Beispiel:
 x = 8-2
 x = 6
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 x+2 = 8
-Auch wenn du vielleicht direkt die Lösung siehst, wird es bei schwierigerern Gleichungen sinnvoller oder sogar notwendig, durch die Durchführung sogenannter Äquivalenzumformungen, einfacher gesagt durch die Umstellung einer Gleichung, sie nach „x“ oder einer anderen Variablen aufzulösen. Das bedeutet, dass das Aussehen der Gleichung verändert wird, aber dennoch auf der linken Seite der selbe Wert steht wie auf der rechten. In dem Fall, um nach „x“ aufzulösen, muss man die 2 von der linken Seite „wegschaffen“. Wichtig dabei ist, dass Rechenoperationen auf beiden Seiten durchgeführt werden müssen! Also um die 2 wegzuschaffen, muss man sowohl links als auch rechts „-2“ rechnen. Dies sagt die Additions- und Subtraktionsregel: __Addiert oder subtrahiert man auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl, so ändert sich die Lösungsmenge nicht. Alle Rechenoperationen werden hinter ein „|“ geschrieben! Regel für die Beseitigung von Zahlen ist, dass man positive Zahlen mit einer negativen Zahl beseitigt oder eben umgekehrt.__
+Auch wenn du vielleicht direkt die Lösung siehst, wird es bei schwierigerern Gleichungen sinnvoller oder sogar notwendig, durch die Durchführung sogenannter Äquivalenzumformungen, einfacher gesagt durch die Umstellung einer Gleichung, sie nach „x“ oder einer anderen Variablen aufzulösen. Das bedeutet, dass das Aussehen der Gleichung verändert wird, aber dennoch auf der linken Seite der selbe Wert steht wie auf der rechten. In dem Fall, um nach „x“ aufzulösen, muss man die 2 von der linken Seite „wegschaffen“. Wichtig dabei ist, dass Rechenoperationen auf beiden Seiten durchgeführt werden müssen! Also um die 2 wegzuschaffen, muss man sowohl links als auch rechts „-2“ rechnen. Dies sagt die Additions- und Subtraktionsregel:
+<note important>Addiert oder subtrahiert man auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl, so ändert sich die Lösungsmenge nicht. Alle Rechenoperationen werden hinter ein „|“ geschrieben! Regel für die Beseitigung von Zahlen ist, dass man positive Zahlen mit einer negativen Zahl beseitigt oder eben umgekehrt.</note>
 x+2 = 8      │-2
 x     = 8-2
 x     = 6
 Hier ein weiteres Beispiel:
 x-17 = 9     │+17
 x      = 26
-, Löse folgende Gleichungen, indem du sie nach der Variablen auflöst und falls nötig, die Gleichung vereinfachst! Führe auch eine Probe durch, indem du für die Variable den dazugehörigen Wert einsetzt.
+//1, Löse folgende Gleichungen, indem du sie nach der Variablen auflöst und falls nötig, die Gleichung vereinfachst! Führe auch eine Probe durch, indem du für die Variable den dazugehörigen Wert einsetzt.
-A, x+7 = 11
+a, x+7 = 11
 b, a-5 = 2
 c, 4 = z+2
 d, 4-3+x = 5-2
+//
-Lösungen zu Aufgabe 1:
+Genau wie bei Addieren und Subtrahieren, muss man auch bei Multiplizieren oder Dividieren die jeweilige Umkehrung der Rechenoperation verwenden, um eine Zahl wegzukriegen. Das heißt, um eine „:7“ wegzukriegen, muss „•7“ gerechnet werden, oder umgekehrt. Auch das muss auf beiden Seiten durchgeführt werden.
-a, z+7 = 11    |-7
+Multiplikations- und Divisionsregel:
-    z = 4
+<note important>Multipliziert oder dividiert man beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl oder durch dieselbe Zahl, die nicht gleich 0 ist, so ändert sich die Lösungsmenge nicht.</note>
-b, c-5 = 2       |+5
-    c = 7
-c, 4 = x+2      |-2
-= x
-d, 4-3+a = 5-2
-+a = 3      |-1
-    a = 2
-**
-Multiplikation und Division**
-Genau wie bei Addieren und Subtrahieren, muss man auch bei Multiplizieren oder Dividieren die jeweilige Umkehrung der Rechenoperation verwenden, um eine Zahl wegzukriegen. Das heißt, um eine „:7“ wegzukriegen, muss „*7“ gerechnet werden, oder umgekehrt. Auch das muss auf beiden Seiten durchgeführt werden.
-Multiplikations- und Divisionsregel: Multipliziert oder dividiert man beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl oder durch dieselbe Zahl, die nicht gleich 0 ist, so ändert sich die Lösungsmenge nicht.
 Beachte, dass du bei Dividieren nur durch den Teiler teilen kannst, im Gegensatz dazu kann man bei Multiplizieren mit beider der Zahlen multiplizieren.
 Beispiel:
-*x = 15       │:5
+•x = 15       │:5
 x     = 3
-x:4 = 2          │*4                          8:x = 2      │*x  │:2
+x:4 = 2          │•4                           8:x = 2      │•x  │:2
 x    = 8                                           8:2 = x
-    = x
+    = x
+<note tip>Ein Mal-Zeichen muss nicht ausgeschrieben werden, wenn kein Missverständnis möglich ist.
+•x = 4x</note>
+//2, Löse die Gleichungen!
+a, 40+20x = 20
-, Löse die Gleichungen!
-A, 40+20x = 20
 b, 6x-9 = 9
-c, 3+5*2+5x = 10
-d, 4x+9-x = 38:x-2x
+c, 3+5•2+5x = 10
+d, 2(x-1)-3x = 4-x//
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 (y-5)-2y+8 = 5(-3y+1)           │Vereinfachen
 y-20-2y+8 = -15y+5              │gleiche Faktoren auf gleiche Seite bringen
 y-2y+15y = 5+20-8               │Zusammenfassen
 y = 17                                 │:17
-y     = 1
+y = 1
 Um das Ergenis zu überprüfen, setzt man in der Anfangsgleichung für die Variable den herausgefundenen Wert ein:
-(1-5)-2*1+8 = 5(-3*1+1)
+(1-5)-2•1+8 = 5(-3•1+1)
 …..
 -16-2+8 = -10
--10         = -10
+-10 = -10
+In einigen Fällen wird es vorkommen, dass die Gleichung falsch ist. Dass bedeutet, dass es keinen Wert für eine Variable gibt und die Lösungsmenge eine „leere Menge“ ist (L = { }).
+Lösungen zu Aufgabe 1:
+a, z+7 = 11    |-7
+    z = 4
+b, c-5 = 2       |+5
+    c = 7
+c, 4 = x+2      |-2
+= x
+d, 4-3+a = 5-2
++a = 3      |-1
+    a = 2
+Lösungen zu Aufgabe 2:
+a,  L= { }
+b, 6x-9 = 9     |+9
+x = 18   |:6
+    x = 3
+c, 3+5•2+5x = 10
++10+5x = 10
++5x = 10    |-13
+x = -3     |:5
+    x = -0,6
+d, 2(x-1)-3x = 4-x
+x-2-3x = 4-x
+    -x-2 = 4-x   |+x
+    -2 = 4
-In einigen Fällen wird es vorkommen, dass die Gleichung falsch ist. Dass bedeutet, dass es keinen Wert für eine Variable gibt und die Lösungsmenge eine „leere Menge“ ist (L = { }).

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