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faecher:mathematik:mathebuch:kongruente_dreiecke_und_kongruenzsaetze [2017/04/13 12:53] 80.107.183.161 [Tipps] |
faecher:mathematik:mathebuch:kongruente_dreiecke_und_kongruenzsaetze [2018/03/16 21:11] (aktuell) |
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| Die Kongruenz zweier Figuren ist ebenfalls die Überführung zweier Figuren ineinander((Deckungsgleichheit)), durch Kongruente Bewegungen bzw. [[faecher:mathematik:mathebuch:kongruente_dreiecke_und_kongruenzsaetze#kongruenzabbildungen|Kongruenzabbildungen]]. | Die Kongruenz zweier Figuren ist ebenfalls die Überführung zweier Figuren ineinander((Deckungsgleichheit)), durch Kongruente Bewegungen bzw. [[faecher:mathematik:mathebuch:kongruente_dreiecke_und_kongruenzsaetze#kongruenzabbildungen|Kongruenzabbildungen]]. | ||
| - | Das Kongruenzzeichen ist ein Gleichheitszeichen mit einem ~ darüber, also: ≅ . | + | Das Kongruenzzeichen ist ein Gleichheitszeichen mit einem ~ darüber, also: ≅ . \\ |
| __Zum Beispiel:__ ΔABC ≅ ΔDEF | __Zum Beispiel:__ ΔABC ≅ ΔDEF | ||
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| Wenn Figuren kongruent sind, dann gibt es eine Bewegung bzw. Abbildung, die die __eine Figur auf die andere abbildet__. Diese Überführungen ineinander nennt man Kongruente Bewegungen oder Kongruenzabbildungen. | Wenn Figuren kongruent sind, dann gibt es eine Bewegung bzw. Abbildung, die die __eine Figur auf die andere abbildet__. Diese Überführungen ineinander nennt man Kongruente Bewegungen oder Kongruenzabbildungen. | ||
| - | Es gibt vier Arten von Kongruenzabbildungen : __Punktspiegelung, Achsenspiegelung, Drehung und Verschiebung__. Diese können nicht nur vereinzelt angewandt werden, sondern auch verschiedenst verknüpft werden. | + | Es gibt vier Arten von Kongruenzabbildungen : __Punktspiegelung, Achsenspiegelung, Drehung und Verschiebung__. \\ |
| - | + | Diese können nicht nur vereinzelt angewandt werden, sondern auch verschiedenst verknüpft werden. \\ | |
| - | Zum Beispiel : Erst eine Drehung und dann Spiegelung der Figur. | + | __Zum Beispiel :__ Erst eine Drehung und dann Spiegelung der Figur. |
| <note tip>Vor und nach einer Abbildung/Bewegung unterscheidet sich eine Figur niemals in Größe oder Form.</note> | <note tip>Vor und nach einer Abbildung/Bewegung unterscheidet sich eine Figur niemals in Größe oder Form.</note> | ||
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| ====== Die Kongruenzsätze und ihre Dreieckskonstruktion ====== | ====== Die Kongruenzsätze und ihre Dreieckskonstruktion ====== | ||
| - | Die Kongruenzsätze haben den Zweck die Kongruenz von Dreiecken zu überprüfen. Kongruenzsätze bestehen immer aus den Hauptstücken eines Dreiecks : aus Seiten und Winkeln. Es existieren __vier verschiedene Kongruenzsätze : SSS (Seite,Seite,Seite), SWS (Seite,Winkel,Seite), WSW (Winkel,Seite,Winkel) und SSW (Seite,Seite, Winkel)__. Mit diesen Sätzen kann nicht nur die Kongruenz überprüft, sondern auch dargestellt werden. Dies geschieht, indem man kongruente Dreiecke mit den Sätzen konstruiert. Genaueres zu diesen Themen wird im Folgendem erklärt und abgebildet. | + | Die Kongruenzsätze haben den Zweck die Kongruenz von Dreiecken zu überprüfen. Kongruenzsätze bestehen immer aus den Hauptstücken eines Dreiecks : aus Seiten und Winkeln. |
| + | Es existieren __vier verschiedene Kongruenzsätze : SSS (Seite,Seite,Seite), SWS (Seite,Winkel,Seite), WSW (Winkel,Seite,Winkel) und SSW (Seite,Seite, Winkel)__. \\ | ||
| + | Mit diesen Sätzen kann nicht nur die Kongruenz überprüft, sondern auch dargestellt werden. Dies geschieht, indem man kongruente Dreiecke mit den Sätzen konstruiert. Genaueres zu diesen Themen wird im Folgendem erklärt und abgebildet. | ||
| __Utensilien die gebraucht werden:__ | __Utensilien die gebraucht werden:__ | ||
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| ==== SSS ==== | ==== SSS ==== | ||
| - | {{:faecher:mathematik:sss.png?nolink&200|}} | + | {{:faecher:mathematik:sss.png?nolink&200|}} \\ |
| Bildquelle: [[http://example.com|https://de.serlo.org/entity/view/1925]] | Bildquelle: [[http://example.com|https://de.serlo.org/entity/view/1925]] | ||
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| Da man die Punkte bei Dreiecken gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, ist der obere Punkt C1 der des eigentlichen Dreiecks, aber auch das Dreieck, das entsteht, wenn man die Punkte A und B mit C2 verbindet, hat den gleichen Flächeninhalt, die gleichen Winkel und die gleichen Seitenlängen und ist somit kongruent zum eigentlichen Dreieck. Es ist nämlich das gespiegelte Dreieck zur Spiegelachse c. | Da man die Punkte bei Dreiecken gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, ist der obere Punkt C1 der des eigentlichen Dreiecks, aber auch das Dreieck, das entsteht, wenn man die Punkte A und B mit C2 verbindet, hat den gleichen Flächeninhalt, die gleichen Winkel und die gleichen Seitenlängen und ist somit kongruent zum eigentlichen Dreieck. Es ist nämlich das gespiegelte Dreieck zur Spiegelachse c. | ||
| - | Dadurch wird klar, mit drei gegebenen Seitenlängen ist ein Dreieck immer kongruent zu jedem Dreieck, dass die gleichen Seitenlängen hat. | + | Dadurch wird klar, mit drei gegebenen Seitenlängen ist ein Dreieck immer kongruent zu jedem Dreieck, dass die gleichen Seitenlängen hat.\\ |
| - | + | Orangenes Dreieck ABC1 und kongruentes grünes Dreieck ABC | |
| - | Orangenes Dreieck ABC und kongruentes grünes Dreieck ABC2 | + | |
| <ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-yuqdwecw.ggb</ggb> | <ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-yuqdwecw.ggb</ggb> | ||
| - | **ΔABC ≅ ΔABC2** | + | **ΔABC1 ≅ ΔABC** |
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| ==== SWS ==== | ==== SWS ==== | ||
| - | {{:faecher:mathematik:sws.png?nolink&200|}} | + | {{:faecher:mathematik:sws.png?nolink&200|}} \\ |
| Bildquelle: [[http://example.com|https://de.serlo.org/entity/view/1925]] | Bildquelle: [[http://example.com|https://de.serlo.org/entity/view/1925]] | ||
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| ==== WSW ==== | ==== WSW ==== | ||
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| Bildquelle: [[http://example.com|https://de.serlo.org/entity/view/1925]] | Bildquelle: [[http://example.com|https://de.serlo.org/entity/view/1925]] | ||
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| ==== SSW ==== | ==== SSW ==== | ||
| - | {{:faecher:mathematik:ssw.png?nolink&200|}} | + | {{:faecher:mathematik:ssw.png?nolink&200|}} \\ |
| Bildquelle: [[http://example.com|https://de.serlo.org/entity/view/1925]] | Bildquelle: [[http://example.com|https://de.serlo.org/entity/view/1925]] | ||
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| __**Aufgabe 1.)**__ | __**Aufgabe 1.)**__ | ||
| - | Welche Dreiecke sind kongruent zueinander ? Begründe! | + | Welche Dreiecke sind kongruent zueinander ? Begründe! \\ |
| + | (( Bildquelle: [[http://example.com|https://www.klett.de/web/uploads/assets/d6/d627820d/Lambacher_Schweizer_8_Schuelerbuch_Hessen_S4-11_733721.pdf]] )) | ||
| + | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:kongruenzaufgabe_1.gif_006_2_.png?nolink&300 |}} | ||
| - | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:kongruenzaufgabe_1.gif_006_2_.png?nolink&300 |}} | ||
| - | Bildquelle: [[http://example.com|https://www.klett.de/web/uploads/assets/d6/d627820d/Lambacher_Schweizer_8_Schuelerbuch_Hessen_S4-11_733721.pdf]] | ||
| __**Aufgabe 2.)**__ | __**Aufgabe 2.)**__ | ||
| Zur neuen Fabrik soll auf kürzestem Weg eine Stromversorgung gelegt werden. Die Straßen zur Fabrik führen in den angegebenen Winkeln unter der Stromversorgung durch. | Zur neuen Fabrik soll auf kürzestem Weg eine Stromversorgung gelegt werden. Die Straßen zur Fabrik führen in den angegebenen Winkeln unter der Stromversorgung durch. | ||
| - | Wie lang ist die Leitung zur Fabrik? Zeichne! | + | Wie lang ist die Leitung zur Fabrik? Zeichne! \\ |
| + | (( Bildquelle: [[http://example.com|http://www.klassenarbeiten.de/klassenarbeiten/klasse8/mathematik/klassenarbeit880_dreiecke.htm]] )) | ||
| + | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:kongruenzaufgabe_2_.jpg?nolink&300 |}} | ||
| - | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:kongruenzaufgabe_2_.jpg?nolink&300 |}} | ||
| - | Bildquelle: [[http://example.com|http://www.klassenarbeiten.de/klassenarbeiten/klasse8/mathematik/klassenarbeit880_dreiecke.htm]] | ||
| __**Aufgabe 3.)**__ | __**Aufgabe 3.)**__ | ||
| Welche der folgenden Dreiecke sind kongruent zueinader ? | Welche der folgenden Dreiecke sind kongruent zueinader ? | ||
| - | Gib an, welchen Kongrunezsatz du als Begründung verwenden kannst. | + | Gib an, welchen Kongrunezsatz du als Begründung verwenden kannst. \\ |
| + | (( Bildquelle: [[http://example.com|https://www.klett.de/web/uploads/assets/d6/d627820d/Lambacher_Schweizer_8_Schuelerbuch_Hessen_S4-11_733721.pdf]] )) | ||
| + | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:kongruenzaufgabe_3.gif_006_3_.png?nolink&500 |}} | ||
| - | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:kongruenzaufgabe_3.gif_006_3_.png?nolink&500 |}} | ||
| - | Bildquelle: [[http://example.com|https://www.klett.de/web/uploads/assets/d6/d627820d/Lambacher_Schweizer_8_Schuelerbuch_Hessen_S4-11_733721.pdf]] | ||
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| **3.** Die vier Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW, SsW musst du morgens um zwei eine Minuten nach dem Aufwachen herunterbeten können! :-P | **3.** Die vier Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW, SsW musst du morgens um zwei eine Minuten nach dem Aufwachen herunterbeten können! :-P | ||
| - | **4.** Falls du dir die Kongruennzsätze einfach nicht merken kannst gibt es auch eine "einfache", weitere Herleitung dieser: <note important>Mindestens zwei der zu übereinstimmenden Hauptstücke des Dreiecks müssen einander berühren !</note> Wenn diese Bedingung nicht gewährleistet ist, kann das Dreieck nicht kongruent sein. | + | **4.** Falls du dir die Kongruenzsätze einfach nicht merken kannst gibt es auch eine "einfache", weitere Herleitung dieser: <note important>Mindestens zwei der zu übereinstimmenden Hauptstücke des Dreiecks müssen einander berühren !</note> Wenn diese Bedingung nicht gewährleistet ist, kann das Dreieck nicht kongruent sein. |
| - | Beispiele: SSS- die drei Seiten berühren sich; SWS- Die Seite berührt den Winkel und die andere Seite; SSW- Eine Seite berührt die andere Seite und diese den dazugehörigen Winkel; WSW- Ein Winkel berührt die Seite an dem einen und der andere Winkel diese an dem anderen Ende. | ||
| - | Ein Gegenbeispiel: WWW- die Winkel können sich nicht berühren sich nicht. | ||
| + | __Beispiele:__ SSS- die drei Seiten berühren sich; SWS- Die Seite berührt den Winkel und die andere Seite; SSW- Eine Seite berührt die andere Seite und diese den dazugehörigen Winkel; WSW- Ein Winkel berührt die Seite an dem einen und der andere Winkel diese an dem anderen Ende.\\ | ||
| + | __Ein Gegenbeispiel:__ WWW- die Winkel können sich nicht berühren. | ||