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faecher:mathematik:mathebuch:pq-formel [2017/04/05 10:15] langeho [Herleitung] |
faecher:mathematik:mathebuch:pq-formel [2018/03/16 21:11] (aktuell) |
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| Die dritte Möglichkeit ist, dass es **kein** Ergebnis gibt. Dies geschieht wenn man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsste was jedoch (im reellen Zahlenbereich) nicht möglich ist: $\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=\sqrt{<0}$ \\ | Die dritte Möglichkeit ist, dass es **kein** Ergebnis gibt. Dies geschieht wenn man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsste was jedoch (im reellen Zahlenbereich) nicht möglich ist: $\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=\sqrt{<0}$ \\ | ||
| Ihr bekommt also kein Ergebnis heraus! | Ihr bekommt also kein Ergebnis heraus! | ||
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| + | **3.** Es ist wichtig das der Wert vor dem Gleichheitszeichen **0** ist da man die pq-Formel sonst nicht anwenden darf. | ||
| + | Steht hier jedoch eine andere Zahl als 0 müsst ihr diese erst auf die andere Seite bringen. | ||
| ====Herleitung==== | ====Herleitung==== | ||
| - | Um die Herleitung der pq-Formel zu verstehen nimmt man die Ausgangsformel $0=x^{2}+px+q$ und stellt sie nach x um: $$ | + | Um die Herleitung der pq-Formel zu verstehen nimmt man die Normalform $0=x^{2}+px+q$ und stellt sie nach x um: $$ |
| \begin{array}{lcr} | \begin{array}{lcr} | ||
| \;\;\;\;\;\;\;\;0=x^{2}+px+q \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|-q\\ | \;\;\;\;\;\;\;\;0=x^{2}+px+q \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|-q\\ | ||
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| Daraus entsteht eine abgewandelte Form der 1. binomischen Formel, es wurden bloß andere Werte für a und b eingesetzt:\\ | Daraus entsteht eine abgewandelte Form der 1. binomischen Formel, es wurden bloß andere Werte für a und b eingesetzt:\\ | ||
| $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ⇒ $\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}=x^{2}+px+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}$\\ | $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ⇒ $\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}=x^{2}+px+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}$\\ | ||
| - | Da Binomische Formeln in beide Richtungen funktionieren (Auch auf der Seite der Binomischen Formeln erklärt) vereinfacht man jetzt $\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=x^{2}+px+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}$ zu $\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}$\\ | + | Da Binomische Formeln in beide Richtungen funktionieren (Auch auf der Seite der Binomischen Formeln erklärt) faktorisiert man jetzt $\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=x^{2}+px+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}$ und erhält $\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}$\\ |
| Nun steht schonmal das x alleine jedoch stört das "hoch 2" noch.\\ Man zieht also die Wurzel wodurch sich jedoch ein $\pm$ ergibt. \\ Dieses "Plusminus" entsteht da "Minus mal Minus wieder Plus ergibt"\\ | Nun steht schonmal das x alleine jedoch stört das "hoch 2" noch.\\ Man zieht also die Wurzel wodurch sich jedoch ein $\pm$ ergibt. \\ Dieses "Plusminus" entsteht da "Minus mal Minus wieder Plus ergibt"\\ | ||
| (Man quardriert eine negative Zahl zum Beispiel -5, dies ergibt Quadriert jedoch **+**25: Daraus folgert man: $x^{2}=-x^{2}$)\\ | (Man quardriert eine negative Zahl zum Beispiel -5, dies ergibt Quadriert jedoch **+**25: Daraus folgert man: $x^{2}=-x^{2}$)\\ | ||
| Nun muss man nur noch $\frac{p}{2}$ durch subtrahieren auf die andere Seite bringen. | Nun muss man nur noch $\frac{p}{2}$ durch subtrahieren auf die andere Seite bringen. | ||
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| + | ====Beispielaufgaben=== | ||
| + | pq-Formel mit zwei Lösungen: \\ | ||
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| + | pq-Formel mit einer Lösung: \\ | ||
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| + | pq-Formel mit keiner Lösung: \\ | ||
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| + | ====Übungsaufgaben==== | ||
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| + | {{:faecher:mathematik:mathebuch:loesung_1.jpg?400|}} | ||
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| + | ====Quellen==== | ||
| + | <hidden>Bildquellen: \\ | ||
| + | http://www.pq-formel.com/beispiele.html \\ | ||
| + | http://www.pq-formel.com/uebungen.html \\ | ||
| + | http://www.pq-formel.com/loesungen.html \\ | ||
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