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faecher:mathematik:mathebuch:wachstumsprozesse [2017/05/05 16:20] klussme [Rekursive Beschreibung von Wachstum] |
faecher:mathematik:mathebuch:wachstumsprozesse [2024/10/01 20:13] (aktuell) 109.42.112.185 [Potenzielles Wachstum - Potenzfunktionen] |
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| Zeile 187: | Zeile 187: | ||
| {{:faecher:mathematik:mathebuch:graph_expo.png?300|}} | {{:faecher:mathematik:mathebuch:graph_expo.png?300|}} | ||
| ====Wachstum anhand von Messwerten errechnen==== | ====Wachstum anhand von Messwerten errechnen==== | ||
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| + | Eine Bakterienkultur vermehrt sich täglich.\\ | ||
| + | Es wurden Beobachtungen in einer Wertetabelle festgehalten:\\ | ||
| + | {{:faecher:mathematik:mathebuch:xy_expo.png?300|}}\\ | ||
| + | In diesem Falle:\\ | ||
| + | $x=Zeit (in$ $Tagen)$\\ | ||
| + | $y=Bakterienanzahl$\\ | ||
| + | Die Pfeile ergeben sich jeweils aus den Beobachtungsergebnissen und so könnten wir auch die anderen Zahlen errechnen. Dies ist allerdings nicht unbedingt notwendig.\\ | ||
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| + | ===Aufgabe:=== | ||
| + | Ermittle die Funktionsgleichung.\\ | ||
| + | |||
| + | Wir suchen $f(x)=a·b^2$\\ | ||
| + | Dies geht mit zwei verschiedenen Varianten.\\ | ||
| + | |||
| + | **Variante 1:** ☞ "graphisch ermitteln"\\ | ||
| + | Zuerst wollen wir den Startwert (a) ermitteln.\\ | ||
| + | So müssen wir also das Feld, des zugehörigen y-Wertes zu x = 0, aus der Tabelle errechnen/das Feld füllen.\\ | ||
| + | → $a=1000:1,7=588,23...$\\ | ||
| + | |||
| + | Als nächstes müssen wir den Wachstumsfaktor (b) herausfinden. Diese Arbeit haben wir bereits mit dem Errechnen der Pfeile getan → $b=1,7$\\ | ||
| + | Daraus ergibt sich:\\ | ||
| + | $f(x)=588,23...·1,7^x$\\ | ||
| + | |||
| + | **Variante 2:** ☞ rechnerisch\\ | ||
| + | Zuerst erstellen wir eine Funktionsgleichung mit den Werten des ersten Tag.\\ | ||
| + | Daraus ergibt sich:\\ | ||
| + | $g(x)=1000·b^x$\\ | ||
| + | Nun setzen wir einen Wert einer beliebigen anderen Zeile beim Endwert (f(x))ein.\\ | ||
| + | Zum Beispiel:\\ | ||
| + | $8352,1=1000·b^4$\\ | ||
| + | Die 4 ergibt sich daraus, dass die Werte vier Perioden auseinander liegen.\\ | ||
| + | Die Funktionsgleichung muss jetzt nur noch ausgerechnet werden:\\ | ||
| + | $8352,1=1000·b^4$\\ | ||
| + | $8352,1:1000=b^4$\\ | ||
| + | $b=1,7$\\ | ||
| + | Nun müssen wir nur noch wie bei Variante 1 den Startwert (a) ermitteln.\\ | ||
| + | $a=1000:1,7=588,23...$\\ | ||
| + | Daraus ergibt sich:\\ | ||
| + | $f(x)=588,23...·1,7^x$ | ||
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| $u(n)=1$</note>\\ | $u(n)=1$</note>\\ | ||
| **∗Explizit** → Man berechnet jedes Folgenglied direkt durch Einsetzen der Platznummer in die Formel.\\ | **∗Explizit** → Man berechnet jedes Folgenglied direkt durch Einsetzen der Platznummer in die Formel.\\ | ||
| - | <note tip>$u(n)=2·n+1</note>\\ | + | <note tip>$u(n)=2·n+1$</note>\\ |
| Man kann aber nicht nur Folgen sondern auch Funktionen mithilfe von rekursiven Formeln berechnen: | Man kann aber nicht nur Folgen sondern auch Funktionen mithilfe von rekursiven Formeln berechnen: | ||
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| <note tip>Rekursive Formel: $f(t)=f(t-1)+m$\\ | <note tip>Rekursive Formel: $f(t)=f(t-1)+m$\\ | ||
| $f(0)=n$\\ | $f(0)=n$\\ | ||
| - | Bei linearer Zunahme → $m > 0$ | + | Bei linearer Zunahme → $m > 0$\\ |
| Bei linearer Abnahme → $m < 0$</note> | Bei linearer Abnahme → $m < 0$</note> | ||
| **∗Exponentielles Wachstum**\\ | **∗Exponentielles Wachstum**\\ | ||
| <note tip>Rekursive Formel: $f(t)=f(t-1)·b$\\ | <note tip>Rekursive Formel: $f(t)=f(t-1)·b$\\ | ||
| $f(0)=a$\\ | $f(0)=a$\\ | ||
| - | Bei exponentieller Zunahme → $b > 1$ | + | Bei exponentieller Zunahme → $b > 1$\\ |
| Bei exponentieller Abnahme → $b < 1$</note> | Bei exponentieller Abnahme → $b < 1$</note> | ||
| =====Asymptoten===== | =====Asymptoten===== | ||
| - | Eine Asymptote des Graphen ist der Graph einer Funktion, der sich an eine Gerade anschmiegt. | + | Eine Asymptote des Graphen ist eine Gerade an die sich der Graph einer Funktion anschmiegt.\\ |
| + | |||
| + | Waagerechte Asymptote:\\ | ||
| + | {{:faecher:mathematik:mathebuch:asymptote_2.png?300|Waagerechte Asymptote}}\\ | ||
| + | |||
| + | Senkrechte Asymptote:\\ | ||
| + | {{:faecher:mathematik:mathebuch:asymptote_1.png?300|Senkrechte Asymptote}}\\ | ||
| + | |||
| + | Waagerechte und senkrechte Asymptote:\\ | ||
| + | {{:faecher:mathematik:mathebuch:asymptote_3.png?300|Waagerechte und senkrechte Asymptote}} | ||
| ======Übungsaufgaben====== | ======Übungsaufgaben====== | ||
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| =====Übungsaufgabe 6===== | =====Übungsaufgabe 6===== | ||
| + | |||
| + | Gegeben ist ein Graph:\\ | ||
| + | {{:faecher:mathematik:mathebuch:graph_expo_ab_-.png?300|}}\\ | ||
| + | Mit den Messwerten:\\ | ||
| + | {{:faecher:mathematik:mathebuch:tabelle_-.png?300|}}\\ | ||
| + | Ermittle die Funktionsgleichung.\\ | ||
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| + | <hidden>Variante 1:\\ | ||
| + | Startwert (a) ermitteln.\\ | ||
| + | → $a=50,4:0,9=56$\\ | ||
| + | |||
| + | Wachstumsfaktor (b) herausfinden. → Pfeile\\ | ||
| + | $b=0,9$\\ | ||
| + | **Antwort:** $f(x)=56·0,9^x$\\ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Variante 2:\\ | ||
| + | Funktionsgleichung erstellen mit den Werten der ersten Zeile.\\ | ||
| + | → $f(x)=50,4·b^x$\\ | ||
| + | Einen Wert einer beliebigen anderen Zeile beim Endwert (f(x))einsetzen.\\ | ||
| + | Zum Beispiel:\\ | ||
| + | $33,06744=50,4·b^4$\\ | ||
| + | Funktionsgleichung ausrechnen:\\ | ||
| + | $33,06744=50,4·b^4$\\ | ||
| + | $33,06744:50,4=b^4$\\ | ||
| + | $b=0,9$\\ | ||
| + | Startwert (a) ermitteln.\\ | ||
| + | $a=50,4:0,9=56$\\ | ||
| + | **Antwort:** $f(x)=56·0,9^x$</hidden> | ||
| =====Übungsaufgabe 7===== | =====Übungsaufgabe 7===== | ||