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faecher:mathematik:mathebuch:wachstumsprozesse [2017/05/06 12:39] klussme [Wachstum anhand von Messwerten errechnen] |
faecher:mathematik:mathebuch:wachstumsprozesse [2024/10/01 20:13] (aktuell) 109.42.112.185 [Potenzielles Wachstum - Potenzfunktionen] |
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| ====Wachstum anhand von Messwerten errechnen==== | ====Wachstum anhand von Messwerten errechnen==== | ||
| - | Eine Bakterienkultur besteht zu Anfang aus 100 Bakterien.\\ | + | Eine Bakterienkultur vermehrt sich täglich.\\ |
| - | Die Bakterien vermehren sich täglich | + | |
| Es wurden Beobachtungen in einer Wertetabelle festgehalten:\\ | Es wurden Beobachtungen in einer Wertetabelle festgehalten:\\ | ||
| {{:faecher:mathematik:mathebuch:xy_expo.png?300|}}\\ | {{:faecher:mathematik:mathebuch:xy_expo.png?300|}}\\ | ||
| In diesem Falle:\\ | In diesem Falle:\\ | ||
| $x=Zeit (in$ $Tagen)$\\ | $x=Zeit (in$ $Tagen)$\\ | ||
| - | $y=Bakterienanzahl (in$ $ml)$\\ | + | $y=Bakterienanzahl$\\ |
| Die Pfeile ergeben sich jeweils aus den Beobachtungsergebnissen und so könnten wir auch die anderen Zahlen errechnen. Dies ist allerdings nicht unbedingt notwendig.\\ | Die Pfeile ergeben sich jeweils aus den Beobachtungsergebnissen und so könnten wir auch die anderen Zahlen errechnen. Dies ist allerdings nicht unbedingt notwendig.\\ | ||
| Zeile 206: | Zeile 205: | ||
| Zuerst wollen wir den Startwert (a) ermitteln.\\ | Zuerst wollen wir den Startwert (a) ermitteln.\\ | ||
| So müssen wir also das Feld, des zugehörigen y-Wertes zu x = 0, aus der Tabelle errechnen/das Feld füllen.\\ | So müssen wir also das Feld, des zugehörigen y-Wertes zu x = 0, aus der Tabelle errechnen/das Feld füllen.\\ | ||
| - | → $a=1000:1,7=588,23...$ | + | → $a=1000:1,7=588,23...$\\ |
| Als nächstes müssen wir den Wachstumsfaktor (b) herausfinden. Diese Arbeit haben wir bereits mit dem Errechnen der Pfeile getan → $b=1,7$\\ | Als nächstes müssen wir den Wachstumsfaktor (b) herausfinden. Diese Arbeit haben wir bereits mit dem Errechnen der Pfeile getan → $b=1,7$\\ | ||
| Zeile 213: | Zeile 212: | ||
| **Variante 2:** ☞ rechnerisch\\ | **Variante 2:** ☞ rechnerisch\\ | ||
| - | Zuerst erstellen wir eine Funktionsgleichungen mit den Werten nach dem ersten Tag.\\ | + | Zuerst erstellen wir eine Funktionsgleichung mit den Werten des ersten Tag.\\ |
| Daraus ergibt sich:\\ | Daraus ergibt sich:\\ | ||
| $g(x)=1000·b^x$\\ | $g(x)=1000·b^x$\\ | ||
| - | Nun setzen wir einen Wert einer beliebigen anderen Zeile ein.\\ | + | Nun setzen wir einen Wert einer beliebigen anderen Zeile beim Endwert (f(x))ein.\\ |
| Zum Beispiel:\\ | Zum Beispiel:\\ | ||
| - | $g(x)=8352,1=1000·b^4$ | + | $8352,1=1000·b^4$\\ |
| - | + | Die 4 ergibt sich daraus, dass die Werte vier Perioden auseinander liegen.\\ | |
| - | + | Die Funktionsgleichung muss jetzt nur noch ausgerechnet werden:\\ | |
| - | + | $8352,1=1000·b^4$\\ | |
| - | $$ | + | $8352,1:1000=b^4$\\ |
| - | \begin{array}{lcr} | + | $b=1,7$\\ |
| - | 37,8=3,5·3+b\\ | + | Nun müssen wir nur noch wie bei Variante 1 den Startwert (a) ermitteln.\\ |
| - | 37,8-b=3,5·3\\ | + | $a=1000:1,7=588,23...$\\ |
| - | -b=-27,3\\ | + | |
| - | b=27,3 | + | |
| - | \end{array}$$ | + | |
| Daraus ergibt sich:\\ | Daraus ergibt sich:\\ | ||
| - | $g(x)=3,5·x+27,3$ | + | $f(x)=588,23...·1,7^x$ |
| - | Überprüfen können wir unsere Ergebnisse, wenn wir uns den Graphen aufzeichnen.\\ | ||
| - | {{:faecher:mathematik:mathebuch:graph_.png?200|}} | ||
| ===Übungsaufgaben=== | ===Übungsaufgaben=== | ||
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| =====Übungsaufgabe 6===== | =====Übungsaufgabe 6===== | ||
| + | |||
| + | Gegeben ist ein Graph:\\ | ||
| + | {{:faecher:mathematik:mathebuch:graph_expo_ab_-.png?300|}}\\ | ||
| + | Mit den Messwerten:\\ | ||
| + | {{:faecher:mathematik:mathebuch:tabelle_-.png?300|}}\\ | ||
| + | Ermittle die Funktionsgleichung.\\ | ||
| + | |||
| + | <hidden>Variante 1:\\ | ||
| + | Startwert (a) ermitteln.\\ | ||
| + | → $a=50,4:0,9=56$\\ | ||
| + | |||
| + | Wachstumsfaktor (b) herausfinden. → Pfeile\\ | ||
| + | $b=0,9$\\ | ||
| + | **Antwort:** $f(x)=56·0,9^x$\\ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Variante 2:\\ | ||
| + | Funktionsgleichung erstellen mit den Werten der ersten Zeile.\\ | ||
| + | → $f(x)=50,4·b^x$\\ | ||
| + | Einen Wert einer beliebigen anderen Zeile beim Endwert (f(x))einsetzen.\\ | ||
| + | Zum Beispiel:\\ | ||
| + | $33,06744=50,4·b^4$\\ | ||
| + | Funktionsgleichung ausrechnen:\\ | ||
| + | $33,06744=50,4·b^4$\\ | ||
| + | $33,06744:50,4=b^4$\\ | ||
| + | $b=0,9$\\ | ||
| + | Startwert (a) ermitteln.\\ | ||
| + | $a=50,4:0,9=56$\\ | ||
| + | **Antwort:** $f(x)=56·0,9^x$</hidden> | ||
| =====Übungsaufgabe 7===== | =====Übungsaufgabe 7===== | ||