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faecher:mathematik:mathebuch:wachstumsprozesse [2017/05/06 14:05] klussme [Übungsaufgabe 6] |
faecher:mathematik:mathebuch:wachstumsprozesse [2024/10/01 20:13] (aktuell) 109.42.112.185 [Potenzielles Wachstum - Potenzfunktionen] |
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| ====Wachstum anhand von Messwerten errechnen==== | ====Wachstum anhand von Messwerten errechnen==== | ||
| - | Eine Bakterienkultur besteht zu Anfang aus 100 Bakterien.\\ | + | Eine Bakterienkultur vermehrt sich täglich.\\ |
| - | Die Bakterien vermehren sich täglich | + | |
| Es wurden Beobachtungen in einer Wertetabelle festgehalten:\\ | Es wurden Beobachtungen in einer Wertetabelle festgehalten:\\ | ||
| {{:faecher:mathematik:mathebuch:xy_expo.png?300|}}\\ | {{:faecher:mathematik:mathebuch:xy_expo.png?300|}}\\ | ||
| In diesem Falle:\\ | In diesem Falle:\\ | ||
| $x=Zeit (in$ $Tagen)$\\ | $x=Zeit (in$ $Tagen)$\\ | ||
| - | $y=Bakterienanzahl (in$ $ml)$\\ | + | $y=Bakterienanzahl$\\ |
| Die Pfeile ergeben sich jeweils aus den Beobachtungsergebnissen und so könnten wir auch die anderen Zahlen errechnen. Dies ist allerdings nicht unbedingt notwendig.\\ | Die Pfeile ergeben sich jeweils aus den Beobachtungsergebnissen und so könnten wir auch die anderen Zahlen errechnen. Dies ist allerdings nicht unbedingt notwendig.\\ | ||
| Zeile 213: | Zeile 212: | ||
| **Variante 2:** ☞ rechnerisch\\ | **Variante 2:** ☞ rechnerisch\\ | ||
| - | Zuerst erstellen wir eine Funktionsgleichungen mit den Werten nach dem ersten Tag.\\ | + | Zuerst erstellen wir eine Funktionsgleichung mit den Werten des ersten Tag.\\ |
| Daraus ergibt sich:\\ | Daraus ergibt sich:\\ | ||
| $g(x)=1000·b^x$\\ | $g(x)=1000·b^x$\\ | ||
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| Zum Beispiel:\\ | Zum Beispiel:\\ | ||
| $8352,1=1000·b^4$\\ | $8352,1=1000·b^4$\\ | ||
| - | Die 4 ergibt sich daraus, dass die Ergebnisse vier Perioden auseinander liegen.\\ | + | Die 4 ergibt sich daraus, dass die Werte vier Perioden auseinander liegen.\\ |
| Die Funktionsgleichung muss jetzt nur noch ausgerechnet werden:\\ | Die Funktionsgleichung muss jetzt nur noch ausgerechnet werden:\\ | ||
| $8352,1=1000·b^4$\\ | $8352,1=1000·b^4$\\ | ||
| Zeile 229: | Zeile 228: | ||
| $f(x)=588,23...·1,7^x$ | $f(x)=588,23...·1,7^x$ | ||
| - | Überprüfen können wir unsere Ergebnisse, wenn wir uns den Graphen aufzeichnen.\\ | ||
| - | **Graph** | ||
| ===Übungsaufgaben=== | ===Übungsaufgaben=== | ||
| Zeile 475: | Zeile 472: | ||
| Ermittle die Funktionsgleichung.\\ | Ermittle die Funktionsgleichung.\\ | ||
| - | **Variante 1:**\\ | + | <hidden>Variante 1:\\ |
| - | Zuerst wollen wir den Startwert (a) ermitteln.\\ | + | Startwert (a) ermitteln.\\ |
| → $a=50,4:0,9=56$\\ | → $a=50,4:0,9=56$\\ | ||
| - | Als nächstes müssen wir den Wachstumsfaktor (b) herausfinden. →Pfeile\\ | + | Wachstumsfaktor (b) herausfinden. → Pfeile\\ |
| $b=0,9$\\ | $b=0,9$\\ | ||
| - | Daraus ergibt sich:\\ | + | **Antwort:** $f(x)=56·0,9^x$\\ |
| - | $f(x)=56·0,9^x$\\ | + | |
| - | **Variante 2:** ☞ rechnerisch\\ | + | |
| - | Zuerst erstellen wir eine Funktionsgleichungen mit den Werten nach dem ersten Zeile.\\ | + | Variante 2:\\ |
| + | Funktionsgleichung erstellen mit den Werten der ersten Zeile.\\ | ||
| → $f(x)=50,4·b^x$\\ | → $f(x)=50,4·b^x$\\ | ||
| - | Nun setzen wir einen Wert einer beliebigen anderen Zeile beim Endwert (f(x))ein.\\ | + | Einen Wert einer beliebigen anderen Zeile beim Endwert (f(x))einsetzen.\\ |
| Zum Beispiel:\\ | Zum Beispiel:\\ | ||
| $33,06744=50,4·b^4$\\ | $33,06744=50,4·b^4$\\ | ||
| - | Die Funktionsgleichung muss jetzt nur noch ausgerechnet werden:\\ | + | Funktionsgleichung ausrechnen:\\ |
| $33,06744=50,4·b^4$\\ | $33,06744=50,4·b^4$\\ | ||
| $33,06744:50,4=b^4$\\ | $33,06744:50,4=b^4$\\ | ||
| Zeile 496: | Zeile 493: | ||
| Startwert (a) ermitteln.\\ | Startwert (a) ermitteln.\\ | ||
| $a=50,4:0,9=56$\\ | $a=50,4:0,9=56$\\ | ||
| - | Daraus ergibt sich:\\ | + | **Antwort:** $f(x)=56·0,9^x$</hidden> |
| - | $f(x)=56·0,9^x$ | + | |
| =====Übungsaufgabe 7===== | =====Übungsaufgabe 7===== | ||