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faecher:mathematik:mathebuch:wahrscheinlichkeitsrechnung_mit_laplaceexperimenten_und_baeumen [2017/04/05 17:35] hintzel [Bäume] |
faecher:mathematik:mathebuch:wahrscheinlichkeitsrechnung_mit_laplaceexperimenten_und_baeumen [2018/03/16 21:11] (aktuell) |
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| <note important> **Merke:** | <note important> **Merke:** | ||
| - | * Fie Formel lautet: P(E)= A(E)/A(Ω) | + | * Die Formel lautet: P(E)= A(E)/A(Ω) |
| * Die **Ergebnismenge Ω** beinhaltet alle möglichen Ergebnisse eines Ereignisses (Zufallsexperimentes ) | * Die **Ergebnismenge Ω** beinhaltet alle möglichen Ergebnisse eines Ereignisses (Zufallsexperimentes ) | ||
| * Man berechnet die **Wahrscheinlichkeit P** von dem **Ereignis E** → **P(E)** | * Man berechnet die **Wahrscheinlichkeit P** von dem **Ereignis E** → **P(E)** | ||
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| - | Das waren nun einfache Zufallsexperimente bei denen jedes mögliche Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt. Sie gehören zu den **Laplaceexperimenten**. Laplaceexperimente sind Zufallsexperimente, bei denen jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt, d.h. alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. | + | Das waren nun einfache Zufallsexperimente bei denen jedes mögliche Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt. Sie gehören zu den **Laplaceexperimenten**. |
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| + | <note important>**Laplaceexperimente** sind Zufallsexperimente, bei denen jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt, d.h. alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. | ||
| + | </note> | ||
| ====Übungsaufgaben==== | ====Übungsaufgaben==== | ||
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| Aus einer Urne, in der sich 3 rote und 4 schwarze Kugeln befinden, werden nacheinander zwei Kugeln gezogen. Die erste gezogene Kugel wird nicht in die Urne zurück gelegt. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine der Kugeln schwarz und eine der Kugeln rot ist? | Aus einer Urne, in der sich 3 rote und 4 schwarze Kugeln befinden, werden nacheinander zwei Kugeln gezogen. Die erste gezogene Kugel wird nicht in die Urne zurück gelegt. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine der Kugeln schwarz und eine der Kugeln rot ist? | ||
| - | FIXME | + | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:img013.jpg |}} |
| An die ersten beiden Pfade schreibt man die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel rot (→ linker Weg) oder schwarz (→ rechter Weg) ist. An die Pfade vom zweiten Ziehen wird jeweils geschrieben, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist jetzt ist eine rote/schwarze Kugel zu ziehen. (Man kann die Werte auch kürzen. → von Links nach Rechts: $\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ ) | An die ersten beiden Pfade schreibt man die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel rot (→ linker Weg) oder schwarz (→ rechter Weg) ist. An die Pfade vom zweiten Ziehen wird jeweils geschrieben, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist jetzt ist eine rote/schwarze Kugel zu ziehen. (Man kann die Werte auch kürzen. → von Links nach Rechts: $\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ ) | ||
| - | FIXME | + | {{ :faecher:mathematik:mathebuch:img015.jpg |}} |
| Hier habe ich die beiden Wege, bei denen die Voraussetzung der Aufgabe erfüllt werden würde markiert. Um jetzt auszurechnen, wie wahrscheinlich es ist, eine rote und eine schwarze Kugel zu ziehen, muss man folgendermaßen vorgehen: | Hier habe ich die beiden Wege, bei denen die Voraussetzung der Aufgabe erfüllt werden würde markiert. Um jetzt auszurechnen, wie wahrscheinlich es ist, eine rote und eine schwarze Kugel zu ziehen, muss man folgendermaßen vorgehen: | ||
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| **Achte immer auf alle Deteils!** | **Achte immer auf alle Deteils!** | ||
| * Ist eine Reihenfolge für die gewünschten Ereignisse angegeben oder nicht? → "es soll erst eine roten und dann eine schwarze Kugel gezogen werden" VS. "eine der gezogenen Kugeln soll rot, die andere schwarz sein" | * Ist eine Reihenfolge für die gewünschten Ereignisse angegeben oder nicht? → "es soll erst eine roten und dann eine schwarze Kugel gezogen werden" VS. "eine der gezogenen Kugeln soll rot, die andere schwarz sein" | ||
| - | * Bleibt Ω auch im zweiten Schritt gleich? → "die gezogene Kugel wird nicht zurück gelegt" (Folge: Ω wird kleiner) oder "die gezogene Kugel wird wieder in die Urne zurück gelegt" (Folge: Ω bleibt gleich) | + | * Bleibt Ω auch im zweiten Schritt gleich? → "die gezogene Kugel wird nicht zurück gelegt" (Folge: Ω wird kleiner) oder "die gezogene Kugel wird wieder in die Urne zurück gelegt" (Folge: Ω bleibt gleich) |
| + | * Die Wahrscheinlichkeiten aller Wege deines Baumes zusammengerechnet müssen 1 ergeben | ||
| + | </note> | ||
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| + | <note tip>Ist es zum Beispiel nur ein Weg, der die Bedingungen nicht erfüllt kannst du auch 1 - die Wahrscheinlichkeit dieses Weges rechnen. | ||
| </note> | </note> | ||
| ====Übungsaufgaben==== | ====Übungsaufgaben==== | ||
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| + | - **(Achtung schwierig!)** Ein Glücksrad hat 7 gleich große Felder. Es gibt 1 Feld für den Hauptpreis, 2 Felder für einen Preis und 4 Felder für Nieten. Du hast genug Geld, um 3 mal zu drehen. Drehst du 1 mal den Hauptpreis oder 2 mal einen normalen Preis hast du deinen Einsatz wieder heraus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür? | ||
| + | - Auf einem 6-seitigen Würfel befinden sich 2 Fünfen, 3 Zweien und eine Sechs. Du würfelst 2 mal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln? | ||
| + | - Du wirfst eine Münze 3 mal. Wie wahrscheinlich ist es: a) zweimal Kopf und einmal Zahl zu erhalten. b) erst Zahl, dann zweimal Kopf zu erhalten. c) mindestens einmal Kopf zu erhalten. | ||
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| + | **Lösungen:** | ||
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| + | - Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,486... ; 48,6...% oder $\frac{167}{343}$ . | ||
| + | - Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,444... ; 44,44...% oder $\frac{4}{9}$ . | ||
| + | - a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,375 ; 37,5% oder $\frac{3}{8}$ . b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,125 ; 12,5% oder $\frac{1}{8}$ . c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,875 ; 87,5% oder $\frac{7}{8}$ . | ||
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| + | Weitere Übungen findest du zum Beispiel auf [[https://www.schlaukopf.de/gymnasium/klasse7/mathematik/wahrscheinlichkeitsrechnung.htm|schlaukopf.de]] | ||
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| - | =====Definition Laplaceexperimente===== | ||