====== Kongruente Dreiecke und Kongruenzsätze ======


====== Definition ======
Die Kongruenz gehört zum mathematischen Teilbereich der Geometrie.

Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie in Größe und Form gleich sind, d.h. sie sind __deckungsgleich__. Diese Deckungsgleichheit wird erzielt, wenn zwei Figuren mindestens __drei gleiche Hauptstücke__((Hauptstücke bei Dreiecken sind Winkel und Seiten)) haben. 
<note important> Die Hauptstücke zur Kongruenz von Dreiecken müssen den  [[faecher:mathematik:mathebuch:kongruente_dreiecke_und_kongruenzsaetze#die_kongruenzsaetze_und_ihre_dreieckskonstruktion|Kongruenzsätze]]  entsprechen.</note>
Die Kongruenz zweier Figuren ist ebenfalls die Überführung zweier Figuren ineinander((Deckungsgleichheit)), durch Kongruente Bewegungen bzw. [[faecher:mathematik:mathebuch:kongruente_dreiecke_und_kongruenzsaetze#kongruenzabbildungen|Kongruenzabbildungen]].

Das Kongruenzzeichen ist ein Gleichheitszeichen mit einem ~ darüber, also:  ≅ . \\
__Zum Beispiel:__   ΔABC ≅ ΔDEF 



==== Kongruenzabbildungen ====

Wenn Figuren kongruent sind, dann gibt es eine Bewegung bzw. Abbildung, die die __eine Figur auf die andere abbildet__. Diese Überführungen ineinander nennt man Kongruente Bewegungen oder Kongruenzabbildungen.

Es gibt vier Arten von Kongruenzabbildungen :  __Punktspiegelung, Achsenspiegelung, Drehung und Verschiebung__. \\
Diese können nicht nur vereinzelt angewandt werden, sondern auch verschiedenst verknüpft werden. \\
__Zum Beispiel :__ Erst eine Drehung und dann Spiegelung der Figur.

<note tip>Vor und nach einer Abbildung/Bewegung unterscheidet sich eine Figur niemals in Größe oder Form.</note>

=== Punktspiegelung ===

Das Dreieck ΔABC ist kongruent dem Dreieck ΔA'B'C', da es mit der Kongruentbewegung "Punktspiegelung" überführt werden kann.

{{:faecher:mathematik:punktspiegelung.jpg?direct&200}}


Bildquelle & Erklärung:
[[http://www.mathematik-wissen.de/punktspiegelung.htm]]
=== Achsenspiegelung ===
Die Kongruenz beider Dreiecke wird mit der Kongruenzabbildung "Achsenspiegelung" bewiesen.

{{:faecher:mathematik:achsenspiegelung.jpg?nolink&200|}}

Bildquelle & Erklärung:
[[http://www.mathematik-wissen.de/achsenspiegelung.htm]]
=== Drehung ===
Die folgende Grafik zeigt zwei Dreiecke, die zueinander kongruent sind. Denn man kann das eine Dreieck in das andere durch Drehung überführen.

{{:faecher:mathematik:drehung_besser_.jpg?nolink&200|}}


Bildquelle & Erklärung:
[[http://www.mathematik-wissen.de/drehung.htm]]


=== Verschiebung ===
Durch die Kongruezabbildung "Verschiebung" können die Dreiecke ΔABC und ΔA'B'C' überführt werden. Somit sind diese Formen kongruent zueinander.


{{:faecher:mathematik:verschiebung.jpg?nolink&200|}}


Bildquelle & Erklärung:
[[http://www.mathegrafix.de/tutorial/bg5.html]]



====== Die Kongruenzsätze und ihre Dreieckskonstruktion ======
Die Kongruenzsätze haben den Zweck die Kongruenz von Dreiecken zu überprüfen. Kongruenzsätze bestehen immer aus den Hauptstücken eines Dreiecks : aus Seiten und Winkeln.
Es existieren __vier verschiedene Kongruenzsätze : SSS (Seite,Seite,Seite), SWS (Seite,Winkel,Seite), WSW (Winkel,Seite,Winkel) und SSW (Seite,Seite, Winkel)__. \\ 
Mit diesen Sätzen kann nicht nur die Kongruenz überprüft, sondern auch dargestellt werden. Dies geschieht, indem man kongruente Dreiecke mit den Sätzen konstruiert. Genaueres zu diesen Themen wird im Folgendem erklärt und abgebildet.

__Utensilien die gebraucht werden:__
  * Geodreieck (oder Lineal)
  * Ein Zirkel
  * Papier
  * Stift (am besten einen Bleistift ;-) ) 
oder ein entsprechendes Computerprogramm.


==== SSS ====

{{:faecher:mathematik:sss.png?nolink&200|}} \\
Bildquelle: [[http://example.com|https://de.serlo.org/entity/view/1925]]

**Dreieckskonstruktion bei gegebenen Seitenlängen a, b und c**

Wir geben die Längen vor mit: a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm

Wir beginnen mit der Grundseite c, das ist die Strecke zwischen den Dreieckspunkten A und B und zeichnen mit dem Geodreieck oder Lineal eine Strecke von 6 cm.

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-mrfbnygf.ggb</ggb>

Als nächstes stellen wir unseren Zirkel auf 5 cm ein, weil wir die Strecke b zeichnen wollen und zeichnen diesen Kreis mit dem Radius 5 cm um den Punkt A, da die Strecke b bei A beginnt (gegenüber von Punkt B).

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-whwxpruh.ggb</ggb> 

Im nächsten Schritt wollen wir die Strecke a = 4 cm zeichnen. Dafür stellen wir den Zirkel auf einen Radius von 4 cm ein und zeichnen einen entsprechenden Kreis um den Punkt B, da die Strecke a bei B beginnt (gegenüber von Punkt A).

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-zszqpsqc.ggb</ggb>

Wir haben jetzt zwei Kreise. Vom Punkt A ist jeder Kreispunkt des Kreises mit dem Radius 5 cm gleich 5 cm entfernt, sodass der Punkt C schon einmal auf dem linken Kreis liegen muss. Der Punkt C muss aber auch 4 cm vom Punkt B entfernt sein und deshalb auch gleichzeitig noch auf dem rechten Kreis liegen. Ein Punkt, der das beides gleichzeitig erfüllt ist der Schnittpunkt der beiden Kreise. Also mit anderen Worten, der Schnittpunkt der beiden Kreise ist vom Punkt A 5 cm entfernt und vom Punkt B 4 cm. Es gibt zwei Möglichkeiten, sodass wir diese Punkte erst einmal einzeichnen.

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-pcwmuysv.ggb</ggb> 

Da man die Punkte bei Dreiecken gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, ist der obere Punkt C1 der des eigentlichen Dreiecks, aber auch das Dreieck, das entsteht, wenn man die Punkte A und B mit C2 verbindet, hat den gleichen Flächeninhalt, die gleichen Winkel und die gleichen Seitenlängen und ist somit kongruent zum eigentlichen Dreieck. Es ist nämlich das gespiegelte Dreieck zur Spiegelachse c. 

Dadurch wird klar, mit drei gegebenen Seitenlängen ist ein Dreieck immer kongruent zu jedem Dreieck, dass die gleichen Seitenlängen hat.\\
Orangenes Dreieck ABC1 und kongruentes grünes Dreieck ABC

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-yuqdwecw.ggb</ggb>
 

**ΔABC1  ≅  ΔABC**









==== SWS ====

{{:faecher:mathematik:sws.png?nolink&200|}} \\
Bildquelle: [[http://example.com|https://de.serlo.org/entity/view/1925]]

**Dreieckskonstruktion bei zwei gegebenen Seitenlängen und ihrem Winkel**

Wir geben vor, dass die Seitenlänge c = 6 cm betragen soll, die Seitenlänge b = 5 cm und der Winkel α = 37°. 

Wir zeichnen zuerst die Grundseite mit c = 6 cm


<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-mrfbnygf.ggb</ggb>

Danach zeichnen wir am Punk A den Winkel α mit 37° ein mit einer Strecke von b = 5 cm. 

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-e3jrq3eb.ggb</ggb>

Im letzten Schritt verbinden wir den Endpunkt der der Strecke b mit dem Endpunkt der Strecke c, also Punkt C mit Punkt B. 

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-xnqfc5tp.ggb</ggb> 


==== WSW ====

{{:faecher:mathematik:wsw.png?nolink&200|}} \\
Bildquelle: [[http://example.com|https://de.serlo.org/entity/view/1925]]

**Dreieckskonstruktion bei gegebener Seitenlänge c und gegebenen Winkeln α und β**

Wir geben vor, dass die Seitenlänge c = 6 cm betragen soll und die Winkel α = 37° und β = 53°.

Wir zeichnen zuerst die Grundseite mit c = 6 cm

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-mrfbnygf.ggb</ggb>

Danach zeichnen wir am Punk A den Winkel α mit 37° ein mit einer Strecke, die „lang genug“ ist.

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-ctp9z7bp.ggb</ggb>

Im nächsten Schritt zeichnen wir am Punkt B den Winkel β mit 53° mit einer Strecke, die die Strecke vom Winkel α schneidet. Jetzt ist auch klar, was mit „lang genug“ gemeint war, die Strecken müssen sich nämlich kreuzen, im Schnittpunkt liegt übrigens der Punkt C.

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-b9nhfczg.ggb</ggb> 

Wie schon erwähnt liegt im Schnittpunkt der Punkt C, sodass wir unser Dreieck sauber verbinden können. Übrigens: Hätten wir die Winkel nach unten eingezeichnet, hätten wir das gespiegelte Dreieck an der Symmetrieachse c erhalten, das auch kongruent zu diesem Dreieck ist.

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-vmshy3qb.ggb</ggb>  
==== SSW ====

{{:faecher:mathematik:ssw.png?nolink&200|}} \\
Bildquelle: [[http://example.com|https://de.serlo.org/entity/view/1925]]

**Dreieckskonstruktion bei zwei gegebenen Seitenlängen und dem gegenüberliegenden Winkel**

Wir geben vor, dass die Seitenlänge c = 6 cm betragen soll, die Seitenlänge von a = 4 cm und der Winkel (der c gegenüberliegt, weil c länger ist als a) γ = 90°.

Wir beginnen, dieses Mal allerdings nicht mit der Grundseite c, sondern mit der Seite a und zeichnen von dieser aus rechtwinklig die Seite b, dessen Länge wir noch nicht kennen können. 

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-b8krbsgq.ggb</ggb>

Als nächstes stellen wir unseren Zirkel auf die Seitenlänge von c, also 6 cm ein und zeichnen einen entsprechenden Kreis um den Punkt B.

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-utzcfbp8.ggb</ggb>

Der Kreis schneidet die Gerade b zweimal. Den linken Schnittpunkt nennen wir A und den rechten A2, damit die Punkte im orangenen Dreieck ABC gegen den Uhrzeigersinn beschriftet sind. Das grüne Dreieck A2CB ist das gespiegelte Dreieck an a. Wir verbinden also den linken Schnittpunkt mit B und erhalten unser Dreieck:

<ggb 350>/faecher/mathematik/mathebuch/material-ae243wxw.ggb</ggb>



====== Der Unterschied zwischen Kongruenz und Ähnlichkeit ======
In der Geometrie gibt es ein Thema, welches oft Verwirrung im Zusammenhang mit Kongruenz hervorruft: die Ähnlichkeit. 
Ohne auf die Bedeutung dessen einzugehen, gibt es einen klaren Unterschied zwischen diesen beiden Themen :

Kongruente Figuren haben nicht nur die gleiche Form, sondern auch gleiche Streckenlänge, d.h. sie sind deckungsgleich. Man kann die Figuren übereinander legen (ineinander überführen). Ähnliche Figuren haben nur die gleiche Form und werden gestreckt bzw. gestaucht.
Ähnliche Figuren sind somit nicht deckungsgleich.

<note warning>Ähnliche Dreiecke sind mathematisch gesehen **nicht** kongruent ! </note>


Siehe mehr : [[faecher:mathematik:mathebuch:aehnlichkeit|Zentrische Streckung und Ähnlichkeit]]


====== Übungen ======

__**Aufgabe 1.)**__ 

Welche Dreiecke sind kongruent zueinander ? Begründe! \\
(( Bildquelle: [[http://example.com|https://www.klett.de/web/uploads/assets/d6/d627820d/Lambacher_Schweizer_8_Schuelerbuch_Hessen_S4-11_733721.pdf]] ))
{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kongruenzaufgabe_1.gif_006_2_.png?nolink&300 |}} 


__**Aufgabe 2.)**__ 

Zur neuen Fabrik soll auf kürzestem Weg eine Stromversorgung gelegt werden. Die Straßen zur Fabrik führen in den angegebenen Winkeln unter der Stromversorgung durch.
Wie lang ist die Leitung zur Fabrik? Zeichne! \\
(( Bildquelle: [[http://example.com|http://www.klassenarbeiten.de/klassenarbeiten/klasse8/mathematik/klassenarbeit880_dreiecke.htm]] ))
{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kongruenzaufgabe_2_.jpg?nolink&300 |}} 


__**Aufgabe 3.)**__ 

Welche der folgenden Dreiecke sind kongruent zueinader ?
Gib an, welchen Kongrunezsatz du als Begründung verwenden kannst. \\
(( Bildquelle: [[http://example.com|https://www.klett.de/web/uploads/assets/d6/d627820d/Lambacher_Schweizer_8_Schuelerbuch_Hessen_S4-11_733721.pdf]] ))
{{ :faecher:mathematik:mathebuch:kongruenzaufgabe_3.gif_006_3_.png?nolink&500 |}} 







<note>Du bist schon **fertig** ? Dann überprüfe deine Lösungen [[faecher:mathematik:mathebuch:loesungen_der_kongruenz|hier]] !</note>

====== Tipps ======
**1.** Mach dir immer eine Skizze!


**2.** Kongruent kannst du mit Deckungsgleich übersetzen. Kongruent heißt „deckungsgleich“. „Flächengleich“ heißt jedoch nicht „deckungsgleich“!
<note warning>„Flächengleich“ heißt nur, dass die Fläche der beiden Dreiecke gleich groß ist. Die Form kann sich aber unterscheiden, so dass zwei „flächengleiche“ Dreiecke nicht zwingend kongruent sein müssen. Allerdings sind alle kongruenten Dreiecke „flächengleich“. Sind zwei Dreiecke also nicht „flächengleich“, so können die Dreiecke auch nicht kongruent sein.</note>

**3.** Die vier Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW, SsW musst du morgens um zwei eine Minuten nach dem Aufwachen herunterbeten können! :-P

**4.** Falls du dir die Kongruenzsätze einfach nicht merken kannst gibt es auch eine "einfache", weitere Herleitung dieser: <note important>Mindestens zwei der zu übereinstimmenden Hauptstücke des Dreiecks müssen einander berühren !</note> Wenn diese Bedingung nicht gewährleistet ist, kann das Dreieck nicht kongruent sein. 


__Beispiele:__ SSS- die drei Seiten berühren sich; SWS- Die Seite berührt den Winkel und die andere Seite; SSW- Eine Seite berührt die andere Seite und diese den dazugehörigen Winkel; WSW- Ein Winkel berührt die Seite an dem einen und der andere Winkel diese an dem anderen Ende.\\ 
__Ein Gegenbeispiel:__ WWW- die Winkel können sich nicht berühren.