Ein Dreieck zu konstruieren ist immer von den gegebenen Angaben abhängig. Außerdem gibt es neben der zeichnerischen Möglichkeit, auch die mathematische, welche die gesuchten Angaben vereinfacht herausfindet. Bei beiden Möglichkeiten gibt es weitere Unterkategorien, welche auf unterschiedliche  Angaben spezialisiert sind und jedes mögliche Dreieck bilden und jede Angabe herausfinden können.


__//Legende//__
s = Seite; w = Winkel; H = Hypotenuse; A = Ankathete; G = Gegenkathete; hc = Höhe; p & q = Hypotenusenabschnitt
======zeichnerisch ======

//Kongruenzsätze:// [[faecher:mathematik:mathebuch:kongruente_dreiecke_und_kongruenzsaetze|Kongruente Dreiecke und Kongruenzsätze]]

 <note tip> Wenn man nur 3 Eigenschaften des Dreiecks kennt, kann man mit Hilfe der 4 Kongruenzsätze ein Dreieck konstruieren
</note>




====sss====

//konstruierbar wenn://

  *  Länge der 3 Seiten gegeben sind

•	 Für jedes Dreieck gilt: Die Länge einer Seite muss immer kleiner sein, als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten.     {{ :faecher:mathematik:mathebuch:4072_cvnsfam1rd.png?300|}}

	                    
Ungleichungen:   
                   
•	a < b + c

•	b < a + c

•	c < a + b

====sws====

//konstruierbar wenn://                                               {{ :faecher:mathematik:mathebuch:sws.png?300|}} 

  *   	Länge zweier Seiten und Größe des Winkels 
 der zwischen den Seiten liegt gegeben sind 


====wsw====

//konstruierbar wenn://                                                                            {{ :faecher:mathematik:mathebuch:wsw.gif?300|}}

  *  Länge einer Seite und die Größe der anliegenden Winkel gegeben sind 


====Ssw====

//konstruierbar wenn://                                              
                                                                                     
  *    Länge zweier Seiten und die Größe des Winkels {{ :faecher:mathematik:mathebuch:ssw2.gif?200|}}
der gegenüber der längeren Seite liegt, gegeben sind  







====Vorgehen -> genaue Konstruktion====

•	Mit einer ausgewählten Seite beginnen und danach restlichen Größen hinzufügen


  * 	Seitenlängen mit Zirkel eintragen; Winkel mit dem Geodreieck 

//Konstruktionsbeispiel://


I.	Gerade zeichnen und Punkt A auswählen 

II.	Kreis um Punkt A zeichnen, Radius = Größe Seite c   {{ :faecher:mathematik:mathebuch:bsp_kvd.png?200|}}

III.	Schnittpunkt der Geraden und des Kreises ergeben Eckpunkt B

IV.	Kreis um B zeichnen, Radius = Größe Seite A

V.	Kreis um A zeichnen, Radius = Größe Seite B

VI.	Schnittpunkt der beiden Kreise ist Punkt C



======mathematisch======

====Winkelfunktion sin/ cos/ tan====
[[faecher:mathematik:mathebuch:sinus_und_kosinusfunktion|Sinus- und Kosinusfunktion]]



<note>Merkspruch: GAGA HühnerHaufenAG</note>

•	__Sinus__: sin(α) = G/H = a/c
	Beispiel: a = 3cm; c= 5cm -> a/c = 3/5 = 0,6 |arc sin = 36.87°

•	__Kosinus__: cos(α) = A/H = b/c
	Beispiel: b = 3cm; c = 5cm ->b/c = 3/5 = 0,6 |arc cos = 53,13°

•	__Tangens__: tan(α)=G/A = a/b
	Beispiel: a = 3cm; b = 3cm ->a/b = 3/3 = 1 |arc tan = 45°



====Sinus- und Kosinussatz====
https://de.serlo.org/mathe/geometrie/sinus-cosinus-tangens/sinussatz-kosinussatz/sinussatz-kosinussatz-allgemeinen-dreieck

•	__Sinussatz__: a/sin(α)= b/sin(β)= c/sin(γ) -> Winkelergebnis

->Stellt Beziehung zwischen Winkel und gegenüberliegenden Seiten her

•	__Kosinussatz__:

        a² = b² + c² – 2bc • cos(α)
        b² = a² + c² – 2ac • cos(β)
	      c² = a² + b² - 2ab • cos(γ)
->Stellt Beziehung zwischen 3 Seiten und einem Winkel her
  * Beispiel: b = 3cm; c = 7cm; α = 35º

    a² = 3² + 7² - 2 • 3 • 7 •cos(35°)
    a  ≈ 23,60

====Pythagoras====
[[faecher:mathematik:mathebuch:pythagoras|Der Satz des Pythagoras]]       

•	a² + b² = c²                   {{ :faecher:mathematik:mathebuch:dreieck_pythagoras.png?300|}}  
	<note important>nur bei rechtwinkeligen Dreiecken möglich</note>
  * Beispiel: a = 5cm; b = 3cm 
    c² = 5² + 3²
    c² = 25 + 9
    c  = √34
    c  ≈ 5.83 
                                                                

====Katheten- und Höhensatz des Euklids====
https://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_des_Pythagoras

 <note important>nur bei rechtwinkeligen Dreiecken möglich</note>                                                                                   

•	__Kathetensatz__: a² = c • p und b² = c • q
  *  Beispiel: a = 3cm; p = 5cm


     a² = c • p 
     3² = c • 5 
      c = 3²⁄ 5 
      c = 1.8

•	__Höhensatz__: h² = p • q
  * Beispiel: p = 3cm;q = 5cm

    h² = 3 • 5 
    h² = 15² 
    h  = √(15) 
    h  ≈ 3.87
    
======Aufgaben=====
Berechne die fehlenden Längen 

//sin/cos/tan//

γ=90°
 
a=12,7cm

c=24,9cm

b, β, α = ?
<hidden>sin(α)=12,7cm/24,9cm
α=30,7°


β=180°−90°−30,7°= β=59,3°

b=(24,9cm)²=(12,7cm)²+b²

b²=(24,9cm)²−(12,7cm)²

b²=458,72cm²

b≈21,4cm</hidden>

//Sinus- und Kosinussatz//

a = 2cm

b = 3 cm
 
γ = 100°

c = ?
<hidden>c² = a² + b² -2ab • cos(γ)

c² = 2² + 3² - 2 • 2 • 3 • cos(100°)

c² = 4² + 9² - 2 • 6² • (-0,1736)

c² = 4² + 9² + 2,084²

c² = 15,084² = 3,88cm</hidden>
//Satz des Pythagoras//

 a = 3cm

 b=3cm

 c=?
<hidden>a² + b² = c² 

3² + 3² = c²

9² + 9² = c²

18² = c²
c = 4,24cm</hidden>

//Katheten- und Höhensatz des Euklids//

c = 10cm

p = 5cm

a = ?

b = ?
<hidden>a² = c · p

a² = 10cm · 5cm

a² = 50cm²

a = 7.07cm

c = p + q

q = 10cm - 5cm = 5cm

b² = c · q

b² = 10cm · 5cm

b² = 50cm²

b = 7.07cm
</hidden>


**__Bildquellen__**

http://dmuw.zum.de/wiki/Aufgaben_8._Klasse/Kongruenz/Seite_1b
https://de.serlo.org/uploads/legacy/4072_CVNSFAM1rd.png
http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/kongruenz/lernpfad/content/kongruenzsaetze/wsw.gif
https://de.serlo.org/uploads/legacy/8288_CN6EaMmx0i.png
http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/kongruenz/lernpfad/content/kongruenzsaetze/ssw2.gif
http://rmg.zum.de/images/0/0c/Benennung_rechtwinkliges_Dreieck_für_Höhensatz.png