====Lineare Gleichungssysteme====

<note warning>
Bevor wir mit dem Lösen linearer Gleichungssysteme beginnen, muss noch gesagt werden: Falls du Probleme mit dem Lösen linearer Gleichungen (zum Beispiel: 3x-4=0) hast, solltest du dies unbedingt unter folgendem Link wiederholen.
[[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:gleichungen_mit_einer_variablen|Gleichungen lösen]]
</note>



====Was sind lineare Gleichungssysteme? / Wie sind sie aufgebaut?====

Ein lineares Gleichungssystem besteht, wie der Name schon sagt aus mindestens zwei linearen Gleichungen mit zwei Variabeln. Beide Gleichungen sind durch ein "und" verbunden. Dieses "und" zeigt an, dass die Gleichungen zusammen gehören. Man muss sie also zusammen lösen.

 Bsp.  für ein lineares Gleichungssystem: $$
\begin {array} {lcr}
x+y&=&5\\
2x-y&=&13\\
\end {array}$$
        
    
====Was ist das Ziel linearer Gleichungen?====

Ziel ist es, für x und y Zahlen zu erhalten, die beide Gleichungen erfüllen.
Dies kann mithilfe eines grafischen Lösungsverfahren oder mithilfe eines rechnerischen Verfahren geschehen.


====Grafisches Lösungsverfahren:===

Du kannst ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variabeln zeichnerisch bestimmen, indem du beide Gleichungen nach 
der Variable y auflöst und die Gleichungen in ein Koordinatensystem einzeichnest (Geradengleichung). Du musst die Gleichung also in die Form y=m×x+c bringen.

Falls du Probleme beim Zeichnen von Funktionsgleichungen hast, solltest du dieses unter folgendem Link wiederholen:
[[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:lineare_funktionen|Lineare Funktionen]]

Es gibt drei Ergebnismöglichkeiten:

**1.Fall**: Es gibt genau eine Lösung.
In diesem Fall haben die Geraden verschiedene Steigungen. Sie schneiden sich dann in einem Punkt (Schnittpunkt).  Der Schnittpunkt entspricht der Lösungsmenge. Das Gleichungssystem hat eine Lösung. Die Lösungsmenge besteht also aus einem Zahlenpaar.

{{ :faecher:mathematik:mathebuch:tmp_6822-geogebra-export_4_-1685275000.png?600 |}}

In dem Beispiel entspricht die Lösungsmenge : L{3|1}

**2.Fall**: Es gibt keine Lösung.
Beide Geraden haben in diesem Fall die gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Dadurch liegen die beiden Geraden parallel zu einander. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer. (L={})

{{ :faecher:mathematik:mathebuch:tmp_6822-geogebra-export_5_1447510666.png?600 |}}

**3.Fall**: Es gibt unendlich viele Lösungen.
Die beiden Geraden sind identisch in der Steigung und dem y-Achsenabschnitt. Sie fallen also gleich. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, die Lösungsmenge besteht aus allen Zahlenpaaren, die diese Gleichung erfüllen. (L={(x|y)y=Geradengleichung})

{{ :faecher:mathematik:mathebuch:tmp_6822-geogebra-export_7_1645978120.png?600 |}}

Da es beim grafischen Lösungsverfahren schnell zu Ungenauigkeiten kommen kann (durch Ungenauigkeiten beim Zeichnen der Geraden / beim Koordinaten ablesen), gibt es drei rechnerische Verfahren um lineare Gleichungen zu lösen:

  - Gleichsetzungsverfahren
  - Einsetzungsverfahren
  - Additionsverfahren

Im folgenden werden alle drei Verfahren mithilfe eines Beispiels erklärt:

====Gleichsetzungsverfahren:====

Um eine Gleichungssystem richtig mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, sollte man wie folgt vorgehen: 
<note important>
  - Beide Gleichungen nach einer gemeinsamen Variabel lösen
  - Gleichungen gleichsetzten (eine der beiden Ausgangsgleichungen beibehalten)
  - Gleichung mit nur einer Variabel lösen und Wert in die zweite Gleichung einsetzen
  - zweite Variable ausrechnen
  - Lösungsmenge angeben
</note> 


Beispiel: $$
\begin {array} {lcr}
4x+4y=8\\            
-6x+3y=-9\\
\end {array} $$




$$
\begin {array} {lcr}
4x=8-4y\\
-6x=-9-3\\
\end {array} $$




$$
\begin {array} {lcr}
x=2-y\\
x=1,5+0,5y\\
\end {array} $$




$$
\begin {array} {lcr}
1,5+0,5y=2-y\\
-6x+3y=-9\\
\end {array} 
$$




$$
\begin {array} {lcr}
0,5y=0,5-y\\
-6x+3y=-9\\
\end {array} $$




$$
\begin {array} {lcr}
1,5y=0,5\\
-6x+3y=-9\\
\end {array} $$




$$
\begin {array} {lcr}
y=\frac{1}{3}\\
-6x+3×1\frac{1}{3}=-9\\
\end {array} $$         




$$
\begin {array} {lcr}      
y=\frac{1}{3}\\
-6x=-10\\
\end {array} $$  




$$
\begin {array} {lcr}    
y=\frac{1}{3}\\
x=\frac{5}{3}\\
\end {array} $$

L={($\frac{1}{3}|\frac{5}{3})$}



====Einsetzungsverfahren:====

Das Einsetzungsverfahren ist eine weiteres rechnerisches Verfahren um lineare Gleichungen zu lösen.
Dies führt einfacher und schneller zum Ergebnis, als das Gleichsetzungsverfahren.
Auch hier sollte man sich folgendes merken um das Gleichungssystem zu lösen:
<note important>
  - EINE der beiden Gleichungen nach einer Variable auf lösen (falls nötig)
  - Term  für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen und Gleichung lösen
  - Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 setzen 
  - Lösungsmenge angeben
</note>
   
   
   
   
$$
\begin {array} {lcr} 
7x+3y=14\\
         y=-2x+3\\
\end {array} $$



$$
\begin {array} {lcr} 
7x+3(-2x+3)=14\\
                     y=-2x+3\\
\end {array} $$



$$
\begin {array} {lcr} 
7x-6x+9=14\\
          y=-2x+3\\
\end {array} $$  
 


$$
\begin {array} {lcr}
x+9=14\\
    y=-2x+3\\       
\end {array} $$



$$
\begin {array} {lcr}
x=5\\
y=-2×5+3\\
\end {array}$$


$$
\begin  {array} {lcr}
x=5\\
y=-7\\
\end {array}$$

L={(5|-7)}





====Additionsverfahren:====

Ziel des Additionsverfahren ist es die Gleichungen so um zuformen, dass bei der Addition der beiden Gleichungen eine der beiden Variabele wegfällt.
Auch hier solltest du folgende  Schritte beachten um linearer Gleichungssysteme richtig zu lösen:

<note important>
  - Variabeln (falls nötig) auf die linke Seite des Gleichungssystem bringen, sodass rechts nur noch eine Zahl steht
  -Multipliziere BEIDE Gleichungen mit verschiedenen Zahlen, sodass die Koeffizienten EINER Variablen in beiden Gleichungen Gegenzahlen sind
  - Gleichungen miteinander addieren und eine Ausgangsgleichung beibehalten
  - Variable auflösen und die Zahl für die Variable in die Ausgangsgleichungen einsetzen
  - zweite Variable ausrechnen
  - Lösungsmenge angeben
</note>


Beispiel:
$$
\begin{array} {lcr}
2x+9y=-1\\
3x+2y=10\\
\end {array}$$



$$
\begin{array} {lcr}
6x+27y=-3\\
-6x+(-4y)=-20\\
\end {array}$$



$$
\begin{array} {lcr}
23y=-23\\
3x×2y=10\\
\end {array}$$



$$
\begin{array} {lcr}
y=-1\\
3x+2y=10\\
\end {array}$$



$$
\begin{array} {lcr}
y=-1\\
3x+2×(-1)=10\\
\end {array}$$



$$
\begin{array} {lcr}
y=-1\\
3x=12\\
\end {array}$$



$$
\begin{array} {lcr}
y=-1\\
x=4\\
\end {array}$$

L={(4|-1)}



====Wie kann man sich ein Gleichungssystem aus einer Textaufgabe herleiten?====

Wir haben folgende Aufgabe:
Ein Vater ist im Augenblick viermal so alt wie sein Sohn und wird in fünf Jahren nur noch dreimal so alt sein. Wie alt sind beide zum jetzigen Zeitpunkt?
Wie gehen wir vor?

Schritt 1: Beschrifte das Gesuchte mit Variabeln!
Bei unserem Beispiel wäre dies zum Beispiel:
das Alter des Vaters=x,
das Alter des Sohnes=y

Schritt 2: Stelle nun die 1. Gleichung mithilfe des obrigen Texts auf!
Man erhält die Gleichung x=4×y, da der Vater ja viermal so alt wie der Sohn ist. Als nächstes versuchen wir die 2. Gleichung mithilfe des Textes aufzustellen.Wir erhalten die Gleichung x+5=3(y+5). Diese setzt sich auf dem unbekannten Alter des Vaters (x) + 5, da der Vater ja in fünf Jahren nur noch dreimal so alt ist zusammen. Dies ist auch die Begründung der rechts vom Gleichheitszeichen stehenden Seite, denn das jetzige Alter des Jungens(y) +5 Jahre ergibt mal drei gerechnet das Alter des Vaters.

Und schon ist das Gleichungssystem fertig: $$
\begin{array}{lcr}
x=4×y\\
x+5=3×(y+5)\\
\end{array}$$

Dieses Gleichungssystem kannst du nun  zur Übung nach einem  der obrigen Rechenverfahren lösen.
Die Lösung findest du unter den Übungsaufgaben.

<note tip>Um ein Gleichungssystem von einer Textaufgabe abzuleiten musst du also:
  - Die Unbekannten mit Variabeln versehen
  - Beide lineare Gleichungen nacheinander aufstellen und Gleichungssystem lösen
</note>

====Übungsaufgaben:====
Nun könnt ihr testen, ob ihr das oben erklärte, verstanden habt:

__
**Übung 1:**__Bestimme die Lösung folgender Gleichungssysteme grafisch:

a)$$
\begin{array}{lcr}
y=-2x-3\\
y=-x+6\\
\end{array}$$

b)$$
\begin{array}{lcr}
y-3x=3\\
2y-6=6x\\
\end{array}$$

c)$$
\begin{array}{lcr}
y=2x-1\\
y=2x+2\\
\end{array}$$









__**Übung 2:**__ Löse die folgenden Gleichungssysteme:

a) $$
\begin{array}{lcr}
6x+12y=30\\
3x+3y=9\\
\end{array}$$



b)$$
\begin{array}{lcr}
15y-4x=-50\\
          x=y+7\\
\end {array}$$


c)$$
\begin{array}{lcr}
12x+15y=25\\
48x+    y=19
\end {array}$$



<note tip> Überprüfe dein Ergebnis, indem du das Ergebnis der Variabeln in die Augsgangsgleichung einsetzt! 
Erhälst du das Ergebnis, dass hinter dem Gleichheitszeichen steht, hast du richtig gerechnet. Falls du nicht dasselbe Ergebnis ausgerechnest hast, solltest du deinen Rechenweg nochmal kontrollieren.
</note>



====Lösungen====

__**Lösung zu "Wie man Gleichungssysteme von Textaufgaben ableitet":**__

Diese Gleichungssystem löst man am besten mit dem Einsetzungsverfahren:

$$
\begin{array}{lcr}
x=4y\\
x+5=3(y+5)\\
\end {array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
4y+5=3(y+5)\\
x+5=3(y+5)\\
\end {array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
4y+5=3y+15\\
x+5=3(y+5)\\
\end {array}$$

$$
\begin{array}{lcr}
y+5=15\\
x+5=3(y+5)\\
\end {array}$$

$$
\begin{array}{lcr}
y=10\\
x+5=3(y+5)\\
\end {array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
y=10\\
x+5=45\\
\end {array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
y=10\\
x=40\\
\end {array}$$

L={(40|10)}


**Lösungen Übung 1:**


a)
$$
\begin{array}{lcr}
y=2x-3\\
y=-x+6\\
\end {array}$$


Um die erste Gerade zu zeichnen, betrachten wir die erste Gleichung des Gleichungssystem:
Der y-Achsenabschnitt ist -3. Du kannst dir nun einen Punkt bei(0|3) einzeichnen. Um den zweiten Punkt herauszufinden, setzt du nun eine Zahl für x ein und rechnest anschließend den y-Wert aus.
Setzt ihr für x zum Beispiel die Zahl 1 ein, ergibt sich der Punkt(1|-1).
(Die -1 ergibt sich, da 2×1-3=-1 ist. Die erste Gerade muss also durch die Punkte (0|3) und (1|-1) gehen.
Um die zweite Gerade zu zeichnen, betrachten wir nun die zweite Gleichung des Gleichungssystems. Der y-Achsenabschnitt ist 6. Auch jetzt kannst du dir bei dem Punkt(0|6) einen Punkt einzeichnen. Um den zweiten Punkt zu erhalten setzt du wieder für x eine Zahl ein und rechnest den y-Wert aus.
Setzen wir nochmal 1 für x ein,wir erhalten den Punkt (1|5).Nun kannst du auch die zweite Gleichung in das Koordinatensystem einzeichnen.
Die Lösungsmenge ist der Schnittpunkt der beiden Geraden d.h.: L={(3|3)}


{{ :faecher:mathematik:mathebuch:tmp_6822-geogebra-export_8_430802587.png?600 |}}

b)$$
\begin{array}{lcr}
y-3x=3\\
y   =3x+3\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
y=3+3x\\
y=3x+3\\
\end{array}$$

L={(x|y)|y=3x+3}

Die Geradengleichungen sind identisch d.h. die Geraden liegen übereinander.

{{ :faecher:mathematik:mathebuch:tmp_6822-geogebra-export_9_49625548.png?600 |}}

c)$$
\begin{array}{lcr}
y=2x-1\\
y=2x+2\\
\end{array}$$


{{ :faecher:mathematik:mathebuch:tmp_6822-geogebra-export_10_-275505428.png?600 |}}

L={}

Falls du beim zeichnen der Geraden Probleme hattest du kannst bei a) nochmal nachlesen,wie man die Geraden einzeichnen kann oder es unter folgendem Link nachlesen: [[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:lineare_funktionen|Lineare Funktionen]]


__**Lösung Übung 2**__

a) Additionsverfahren:

$$
\begin{array}{lcr}
6x+12y=30\\
3x+3y=9\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
6x+12y=30\\
-6x-6y=-18\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
12y=12\\
3x+3y=9\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
y=2\\
3x+3×2=9\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
y=2\\
3x=3\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
y=2\\
x=1\\
\end{array}$$

L={(1|2)}



b)Einsetzverfahren:

$$
\begin{array}{lcr}
15y-4x=-50\\
x=y+7\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
15y-4(y+7)=-50\\
x=y+7\\
\end{array}$$




$$
\begin{array}{lcr}
15y-4y+28=-50\\
x=y+7\\
\end{array}$$



$$
\begin{array}{lcr}
11y+28=-50\\
x=y+7\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
11y=-22\\
x=y+7\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
y=-2\\
x=y+7\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
y=-2\\
x=5\\
\end{array}$$

L={(5|-2)}


c) Gleichsetzungsverfahren:


$$
\begin{array}{lcr}
12x+15y=25\\
48x+  y=19\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
15y=25-12x\\
y=19-48x\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
y=\frac{5}{3}-\frac{4}{5}x\\
y=19-48x\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
19-48x=\frac{5}{3}-\frac{4}{5}x\\
48x+ y=19\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
17,33...=-\frac{4}{5}x+ 48x\\
48x+  y=19\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
17,33...=47,2x\\
48x+  y=19\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
x=0,367...\\
48x+  y=19\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
x=0,367...\\
48×0,367...+  y=19\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
x=0,367...\\
y=19-17.627...\\
\end{array}$$


$$
\begin{array}{lcr}
x=0,367...
y=1,372...
\end{array}$$
L={(0,367...|1,372...)}



Weitere Übungsaufgaben findest du in deinem Mathebuch Klasse 8 auf Seite 82 (Bist du fit?) oder unter folgendem Link: http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_lin_gsys_01/p0_lin_gsys_01.htm