======pq-Formel====== 
===Quadratische Gleichungen lösen=== 

<note tip>Die pq-Formel benutzt man immer dann wenn man eine Gleichung der Art $0=x^{2}+px+q$ lösen möchte!</note>\\
Dies macht man indem man die Zahlen die an der Stelle von p und q stehen in die pq-Formel einsetzt:\\
Diese lautet $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$ \\
Die Gleichung muss man anschließend nur noch auflösen.\\
Dabei gilt es natürlich einiges zu beachten:\\
**1.**Vor dem $x^{2}$ in der Ausgangsgleichung darf keine Zahl stehen!\\
Wenn die Ausgangsgleichung beispielsweise $0=4x^{2}+8x+4$ lautet kann man erst einmal nicht die pq-Formel benutzen, man kann jedoch einen sehr einfachen Zwischenschritt machen damit man sie benutzen kann. \\
Ihr teilt also die gesammte Gleichung durch die Zahl vor $x^{2}$ in diesem Fall 4: 
$$
\begin{array}{lcr}
0=4x^{2}+8x+4 \;\;\;|:4\\
\frac{0}{4}=\frac{4}{4}x^{2}+\frac{8}{4}x+\frac{4}{4}\\
\mathrm{Dies\;gibt\;vereinfacht}\\
0=1x^{2}+2x+1                                                                          
\end{array}$$

**2.** Beim lösen einer pq-Formel gibt es normalerweise zwei Lösungen.\\
Man kann immer **zwei** Lösungen errechnen wenn der Wert unter der Wurzel (Diskriminante genannt ) größer als 0 ist: $\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=\sqrt{>0}$\\
Denn wenn das Ergebnis unter der Wurzel positiv ist, ist auch die Wurzel von diesem Wert positiv. Und da  $\pm$ vor der Wurzel steht müsst ihr diesen Wert einmal mit $\frac{p}{2}$ addieren und einmal von $\frac{p}{2}$ abziehen → **zwei Werte**

Es gibt auch die Möglichkeit dass es beim Lösen der pq-Formel nur **ein** Ergebnis gibt. Dies tritt ein wenn dass Ergebnis unter der Wurzel **0** ist:   $\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=\sqrt{0}$  

Die dritte Möglichkeit ist, dass es **kein** Ergebnis gibt. Dies geschieht wenn man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsste was jedoch (im reellen Zahlenbereich) nicht möglich ist: $\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=\sqrt{<0}$ \\
Ihr bekommt also kein Ergebnis heraus!

**3.** Es ist wichtig das der Wert vor dem Gleichheitszeichen **0** ist da man die pq-Formel sonst nicht anwenden darf.
Steht hier jedoch eine andere Zahl als 0 müsst ihr diese erst auf die andere Seite bringen.


====Herleitung====
Um die Herleitung der pq-Formel zu verstehen nimmt man die Normalform $0=x^{2}+px+q$ und stellt sie nach x um:  $$
\begin{array}{lcr}
\;\;\;\;\;\;\;\;0=x^{2}+px+q \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|-q\\
\;\;\;\;-q=x^{2}+px  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}\\
\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=x^{2}+px+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}\\
\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\sqrt{0}\\
\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}=x+\frac{p}{2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|-\frac{p}{2}\\
-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}=x\\

\end{array}$$ 

Man addiert in Zeile 2 $\left(\frac{p}{2}\right)^{2}$ um nun die 1. Binomische Formel  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ anzuwenden: \\
<note tip>(Link zur Zusammenfassung der Binomischen Formeln und dessen Herleitung → [[faecher:mathematik:mathebuch:binomische_formeln|Binomische Formeln]] </note> \\
 Nun setzt man jedoch für a=x ein und für b=$\left(\frac{p}{2}\right)^{2}$\\
Daraus entsteht eine abgewandelte Form der 1. binomischen Formel, es wurden bloß andere Werte für a und b eingesetzt:\\
 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ⇒ $\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}=x^{2}+px+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}$\\
Da Binomische Formeln in beide Richtungen funktionieren (Auch auf der Seite der Binomischen Formeln erklärt) faktorisiert man jetzt $\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=x^{2}+px+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}$ und erhält $\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}$\\
Nun steht schonmal das x alleine jedoch stört das "hoch 2" noch.\\ Man zieht also die Wurzel wodurch sich jedoch ein $\pm$ ergibt. \\ Dieses "Plusminus" entsteht da "Minus mal Minus wieder Plus ergibt"\\
(Man quardriert eine negative Zahl zum Beispiel -5, dies ergibt Quadriert jedoch **+**25: Daraus folgert man: $x^{2}=-x^{2}$)\\
Nun muss man nur noch $\frac{p}{2}$ durch subtrahieren auf die andere Seite bringen.

====Beispielaufgaben===
pq-Formel mit zwei Lösungen: \\
{{:faecher:mathematik:mathebuch:beispiel_1.jpg?400|}}

pq-Formel mit einer Lösung: \\
{{:faecher:mathematik:mathebuch:beispiel_2.jpg?400|}} 

pq-Formel mit keiner Lösung: \\
{{:faecher:mathematik:mathebuch:beispiel_3.jpg?400|}}
====Übungsaufgaben====

 {{:faecher:mathematik:mathebuch:uebung_1.jpg?400|}}

{{:faecher:mathematik:mathebuch:uebung_2.jpg?400|}}

{{:faecher:mathematik:mathebuch:uebung_3.jpg?400|}}

{{:faecher:mathematik:mathebuch:uebung_4.jpg?400|}}

<hidden> 
{{:faecher:mathematik:mathebuch:loesung_1.jpg?400|}}

{{:faecher:mathematik:mathebuch:loesung_2.jpg?400|}}

{{:faecher:mathematik:mathebuch:loesung_3.jpg?400|}}

{{:faecher:mathematik:mathebuch:loesung_4.jpg?400|}}

</hidden>
====Quellen====
<hidden>Bildquellen: \\
http://www.pq-formel.com/beispiele.html \\
http://www.pq-formel.com/uebungen.html \\
http://www.pq-formel.com/loesungen.html \\

 </hidden>