=====Sinus- und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck=====

====Sinussatz====


Den Sinussatz kann man im **allgemeinen Dreieck** anwenden, dass bedeutet, das Dreieck muss //nicht// unbedingt //rechtwinklig// sein, wie bei den trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.




<note important>$\frac{a}{sin(α)}$=$\frac{b}{sin(β)}$=$\frac{c}{sin(γ)}$


Für **jedes** Dreieck gilt, dass die Quotienten aus der Seitenlänge und dem Sinuswert des gegenüberliegenden Winkels jeweils denselben Wert haben.

</note>

Den Sinussatz benutzt man, wenn ...
  *** 2 Seiten** und **1 Winkel**, der **gegenüber** von **einer** dieser **Seiten** liegt,// gegeben// sind,** 1 Winkel**, der **gegenüber** der **2. Seite** liegt, //gesucht// wird

===Vorgehensweise===
  - Überflüssigen Teil der Formel weglassen
  - Nach gesuchter Größe umstellen
  - Werte einsetzen
  - Ausrechnen

===Beispiel===

Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **β=48°; γ=75°; c=6cm.
**
//Gesucht// wird die Länge der Seite **b**.


  - $\frac{b}{sin(β)}$=$\frac{c}{sin(γ)}$
  - b=$\frac{c∗sin(β)}{sin(γ)}$
  - b=$\frac{6∗0,7431}{0,9659}$
  - b=4,62cm


===Übungsaufgaben===

1. Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **a=5cm; c=7cm; γ=50°**. //Gesucht// wird die Größe des Winkels **α**.

2. Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **a=4cm; α=60°; β=50°**. //Gesucht// wird die Länge der Seite **b**.

3. Im Dreieck ABC sind// gegeben//: **a=8cm; b=5cm; α=80°**. //Gesucht// wird die Größe des Winkels **β**.


===Lösungen===
<hidden>

1. α=33°

2. b≈3,54cm

3. β≈37,99°</hidden> 


====Kosinussatz====

Den Kosinussatz kann man, genauso wie den Sinussatz, in **jedem beliebigen Dreieck** anwenden.


<note important>

$a^2$=$b^2$+$c^2$//-2$\cdot$b$\cdot$c$\cdot$cos(α)//

$b^2$=$a^2$+$c^2$//-2$\cdot$a$\cdot$c$\cdot$cos(β)//

$c^2$=$a^2$+$b^2$//-2$\cdot$a$\cdot$b$\cdot$cos(γ)//

Für **jedes Dreieck** gilt, dass das Quadrat einer Dreiecksseite gleich ist der Summe der Quadrate der anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels.

</note>


Den Kosinussatz benutzt man, wenn ...
  * **3 Seiten** //gegeben// sind,** 1 Winkel** //gesucht// wird
  * **2 Seiten** und **1 Winkel** dazwischen //gegeben// sind, **3. Seite** //gesucht// wird


===Vorgehensweise===
  - Mit gegebenen Größen passende Formel auswählen
  - Nach gesuchter Größe umstellen
  - Werte einsetzen
  - Ausrechnen

===Beispiel===


Im Dreieck ABC sind //gegeben:// **b=5cm; c=7cm; α=57,1°.**
//Gesucht// wird die Länge der Seite **a**.



  - $a^2$=$b^2$+$c^2$//-2$\cdot$b$\cdot$c$\cdot$cos(α)//
  - a=$\sqrt{b^2+c^2-2∗b∗c∗cos(α)}$
  - a=$\sqrt{25+49-70∗0,543}$ a=$\sqrt{35,99}$ 
  - a≈6cm


===Übungsaufgaben===

 
1. Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **a=2cm; b=3cm; γ=100°**.
//Gesucht// wird die Länge der Seite **c**.

2. Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **b=4cm; c=6cm; α=60°**.
//Gesucht// wird die Länge der Seite **a**.

3. Im Dreieck ABC sind //gegeben//: **a=5cm; b=3cm  c=7cm**.
//Gesucht// wird die Größe des Winkels **α**.



===Lösungen===


<hidden>
1. c≈3,88cm

2. a≈5,29cm

3. α≈38,21°</hidden>