=====Sinus, Kosinus, Tangens in Dreiecken=====



Mithilfe der Trigonometrie (griechisch, übersetzt: "Dreieck", "Maß") kann man aus gegebenen Größen eines** rechtwinkligen** Dreiecks die anderen gesuchten Größen des Dreiecks berechnen.

Die trigonometrischen Funktionen zur Berechnung lauten: **Sinus, Kosinus und Tangens.**

Ihre Herleitung findet ihr hier: [[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:einheitskreis_und_trigonometrische_funktionen|Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis]]


Wichtig sind zuallererst drei Begriffe: ====Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse====

{{:faecher:mathematik:mathebuch:mathe_1.png|}}

Die **Hypotenuse** (hier Seite b) ist die **längste Seite** des Dreiecks und liegt **gegenüber vom rechten Winkel** (hier β).
Von dem Winkel α ausgegangen ist Seite a die **Gegenkathete**, denn die Gegenkathete liegt immer **gegenüber vom Winkel.** 
Seite c ist hier die **Ankathete**. Die Ankathete ist diejenige Seite, die ein Schenkel des Winkels ist und somit **am Winkel** (hier α) **anliegt.**

===Aufgabe=== 
(auf das vorherige Dreieck bezogen)

Setze die 3 Begriffe ein.

  - Ausgegangen vom Winkel **γ** ist **a** die
  - Seite **c** ist die 
  - Seite **b** bezeichnet man in diesem rechtwinkligen Dreieck als


===Lösung===
<hidden>  
  - Ankathete
  -  Gegenkathete
  - Hypotenuse
</hidden>

{{:faecher:mathematik:mathebuch:mathe_3.png|}}

===Aufgabe=== 
(auf das obige Dreieck bezogen)

Setze die 3 Begriffe ein.

Für den Winkel **β** ist...

  - Seite **a** die 
  - Seite **b** die
  - Seite **c** die

Für den Winkel **γ** ist ...

  - Seite **a** die
  - Seite **b** die
  - Seite **c** die


===Lösung===

<hidden>Für den Winkel **β**:

  - Hypotenuse
  - Gegenkathete 
  - Ankathete

Für den Winkel **γ**:

  - Hypotenuse
  - Ankathete
  - Gegenkathete 

</hidden>



<note important>
Der **Sinus** eines Winkels definiert das Verhältnis von __**G**egenkathete und **H**ypotenuse__.

Der **Kosinus** eines Winkels definiert das Verhältnis von __**A**nkathete und **H**ypotenuse__ und 

der **Tangens** eines Winkels definiert das Verhältnis von __**G**egenkathete und **A**nkathete__.

Die Seiten werden jeweils durcheinander geteilt.
</note>


<note tip>{{:faecher:mathematik:mathebuch:mathe_2.png|}}

 __Merkspruch:__ GAGA und HühnerHaufenAG</note>


====Weitere Regeln====

<note>Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C gilt:

$sin(α)$=$cos(β)$ und

$cos(α)$=$sin(β)$</note>

===Beweis===

$\frac{a}{c}= \frac{a}{c}$

$\frac{b}{c}=\frac{b}{c}$



<note>$(sin(α))^2$+$(cos(α))^2$=1</note>

===Beweis an einem bei C rechtwinkligen Dreieck ABC===

Mit sin(α)=$\frac{a}{c}$ und cos(α)=$\frac{b}{c}$ gilt:

$(\frac{a}{c})^2$+$(\frac{b}{c})^2$

=$\frac{a^2}{c^2}$+$\frac{b^2}{c^2}$

=$\frac{a^2+b^2}{c^2}$=1

//Denn im rechtwinkligen Dreieck gilt:// $a^2+b^2$ = $c^2$ ([[https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:pythagoras|Satz des Pythagoras]])


<note>$\frac{sin(α)}{cos(α)}$=tan(α) (für α ≠ 90°)</note>

===Beweis===



Mit den bisher bekannten Beziehungen  sin(α)=$\frac{a}{c}$ und cos(α)=$\frac{b}{c}$ ergibt sich:

$\frac{sin(α)}{cos(α)}$=sin(α) : cos(α)

=$\frac{a}{c}$ : $\frac{b}{c}$

=$\frac{a}{c}$$\cdot$$\frac{c}{b}$

=$\frac{a}{b}$ Dies ist tan(α)

<note warning>Regel gilt für jedes beliebige Dreieck, dass die Bedingung γ=90° erfüllt!</note>

====Tipps====

<note tip>Mache dir eine **Skizze** um dir das gegebene Dreieck besser vorstellen zu können</note>

<note tip>Wenn ein Dreieck //keinen rechtwinkligen Winkel// besitzt, dann //teile// das Dreieck, indem du eine **Höhe** einzeichnest, in zwei rechtwinklige Dreiecke auf.</note>

<note tip>Nutze die** Winkelsumme**, wenn du zwei Winkel gegeben hast und den dritten Winkel suchst.</note>

===Beispiel===

//
gegeben:// **α=33°; β=84°**

//gesucht:// γ

$$
\begin{array}{lcr}
  γ=180°- (α+β)\\
  γ=180° - (33°+84°)\\
  γ=180°- 117°\\
  γ=63°\\
\end{array}$$


<note tip>**Winkel** aus Sinus, Kosinus und Tangens **errechnen
**
  * Benutze deinen Taschenrechner zum bestimmen der Winkelgrößen
  * Stelle den Taschenrechner auf "Gradmaß" ein 
  * Benutze die Umkehrtasten: arcsin, arccos, arctan

</note>




===Beispiel===

sin(α)=0,5

α=arcsin(0,5)

α=30°


====Aufgaben zur Anwendung====

<note warning>Du solltest die **Regeln beherrschen**, denn in den folgenden Aufgaben wirst du einige** anwenden** müssen.</note>


<note tip>Stelle die Formeln nach der gesuchten Größe um!</note>


1. //Gegeben// ist ein Dreieck ABC mit den Seiten **a=4cm; b=5cm; c=3cm**. Der **rechte Winkel** des Dreiecks liegt bei **β**.
//Gesucht// wird sin(α), sin(γ), cos(α), cos(γ).

2. //Gegeben// sind: **γ=90°; a=12,7cm; c=24,9cm**, // gesucht// werden α, β, b.


{{:faecher:mathematik:mathebuch:dreieck_1.png|}}

3//. Gegeben// sind: ** α=90°; γ=40,3°; a=10,5cm**, //gesucht// werden b, c, β.

{{:faecher:mathematik:mathebuch:dreieck_2.png|}}


===Lösungen===

<hidden>1.  sin(α)=cos(γ)=0,8;sin(γ)=cos(α)=0,6

2. α=30,7°; β=59,3°; b≈21,4cm

3. β=49,7°; b≈8cm; c≈6,8cm
</hidden>