Inhaltsverzeichnis
Zentrische Streckung und Ähnlichkeit
Legende:
A,B,C … (Großbuchstaben): Punkte/Ecken
a, b, c … (Kleinbuchstaben): Strecken
k: Streckfaktor
Z: Zentrum
Definition
Allgemeine Informationen
Die Zentrische Streckung bedeutet in der Geometrie eine Vergrößerung oder Verkleinerung einer Form. Dabei bleibt das Streckenverhältnis (bei Dreiecken/Vierecken) gleich, d.h. das alle Strecken mit dem selben Streckfaktor gestreckt werden und die Winkel bleiben dabei immer gleich.
Der Streckfaktor
Der Streckfaktor k ist ein Wert mit dem man Formen zentrisch strecken kann. Ist der Streckfaktor 2, so wird die Form verdoppelt, bei 3 wird sie verdreifacht, bei 4 wird sie vervierfacht etc.
Das Zentrum
Wie eine Form gestreckt wird funktioniert mit einem Zentrum. Dieses ist ein außenstehender Punkt, mit dem man alle Ecken einer Form durch Geraden verbindet. Auf den Geraden findet man sich neue Punkte, je nach Streckfaktor und verbindet diese.
Ähnlichkeit
Ähnlichkeitssatz 1 (WWW):
Wenn Dreiecke in allen Winkeln übereinstimmen, verhalten sie sich ähnlich zueinander.
Ähnlichkeitssatz 2 (SSS):
Wenn alle Seitenverhältnisse übereinstimmen, verhalten sich diese Formen ähnlich zueinander.
Ähnlichkeitssatz 3 (SWS):
Wenn Dreiecke in einem Winkel und in den Verhältnissen der anliegenden Seiten übereinstimmen, sind sie ähnlich.
Ähnlichkeitssatz 4 (SSW):
Wenn Dreiecke im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen, sind sie ähnlich.
Verschiedene Beispiele
Beispiel 1
Gegeben ist ein Dreieck A B C mit den Strecken:
f: 3,61cm
g: 2cm
h: 3cm
Dieses Dreieck wollen wir dem Streckfaktor 2 zentrisch strecken.
Als nächstes suchen wir einen Punkt in der Nähe des Dreiecks. Dieser Punkt wird das Zentrum Z.
Nun verbinden wir das Zentrum Z mit allen Ecken (A, B, C) des Dreiecks durch Geraden.
Auf den Geraden suchen wir uns 3 neue Punkte. Der Abstand zwischen Originalecke und neuer Punkt soll genau so groß werden wie der Abstand zwischen das Zentrum Z und der Originalecke.
Jetzt haben wir unsere 3 neuen Punkte D, E und F. Diese Punkte werden die Ecken unseres Dreiecks, indem wir sie miteinander verbinden und wir erhalten das neue Dreieck D E F.
Dieses neue Dreieck ist das Ergebnis der zentrischen Streckung.
Die Längen des neuen Dreiecks:
l: 6cm
m: 4cm
n: 7,22cm
D.h. das Dreieck A B C wurde mit dem Streckfaktor 2 zum Dreieck D E F verdoppelt.
Beispiel 2
Ja, dieser Weg geht auch umgekehrt, d.h. dass man den Streckfaktor ausrechnen muss, wenn man 2 ähnliche Dreiecke gegeben hat.
Gegeben ist ein Dreieck A B C mit den Längen:
f: 4cm
g: 2cm
h: 4,47cm
Dazu das Ergebnis der zentrischen Streckung E F G mit den Längen:
l: 8,94cm
m: 4cm
n: 8cm
Für die Berechnung des Streckfaktors gilt:
Die gestreckte Strecke (a, b, c) wird mit der Originalstrecke (a1, b1, c1) dividiert.
$k=\frac{l}{h}=\frac{n}{f}=\frac{m}{g}=?$
$k=\frac{8,94}{4,47}=\frac{8}{4}=\frac{4}{2}=2$
Der Streckfaktor beträgt also 2, d.h. dass das Dreieck A B C zum Dreieck E F G verdoppelt wurde.
Beispiel 3
Ja, der Streckfaktor kann tatsächlich negativ sein. Normalerweise befindet sich das Originaldreieck zwischen Zentrum und gestrecktes Dreieck wie im Beispiel 1 und Beispiel 2. Bei negativen Streckfaktoren ist das anders, denn dort befindet sich das Zentrum zwischen Originaldreieck und gestrecktes Dreieck. Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1. Mit dem Streckfaktor -1 suchen wir uns mithilfe des Zentrums und der Geraden 3 neue Punkte hinter dem Zentrum. Der Abstand zwischen Zentrum und Originalecke ist genauso groß wie der Abstand zwischen Zentrum und dem neuen Punkt. Wenn wir 3 neue Punkte haben, verbinden wir diese und wir erhalten ein neues und gleichaussehendes Dreieck A B C.
Die Dreiecke sehen genau gleich aus, da sie die selben Winkel und Strecken haben. Der Unterschied ist, dass das Dreieck A B C umgedreht ist, aufgrund der Geraden des Zentrums. D.h. dass der Streckfaktor -1 das Dreieck nur spiegelt. Die Dreiecke sind außerdem kongruent zueinander.
Die weiteren Minuszahlen vergrößern oder verkleinern eine Form, aber spiegeln tun sie ALLE.
Beispiel 4
Ja, es gibt 2 weitere Wege eine Form zu strecken.
Möglichkeit 1: Man kann eine Form mithilfe von Parallelen zentrisch strecken.
Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1. Dieses soll mit Parallelen gestreckt werden. Man zieht eine Gerade durch die Punkte A1 und B1 und dann eine weitere, parallele Gerade. Dort wo die parallele Gerade die Gerade des Zentrums schneidet, kommen die neuen Punkte A und B. Der Abstand zwischen A und A1 ist genauso groß wie der Abstand von A1 zum Zentrum Z. Als nächstes führen wir eine weitere Gerade durch die Punkte B1 und C1, dazu eine parallele Gerade. Dort wo die parallele Gerade die Gerade des Zentrums schneit kommt der Punkt C hin. Als nächstes verbinden wir die Punkte A B C und wir erhalten ein neues Dreieck.
Da der Abstand zwischen Zentrum und Originalpunkt genauso groß ist wie der Abstand zwischen Originalpunkt und neuer Punkt, wurde das Dreieck mit dem Streckfaktor 2 zentrisch gestreckt und so verdoppelt.
Möglichkeit 2: Man kann eine Form mithilfe von Kreisen zentrisch strecken.
Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1 und dieses soll mithilfe von Kreise zentrisch gestreckt werden. Wir nehmen die Ecke A1 als Mittelpunkt und der Radius soll bis zum Zentrum Z gehen. Dort wo der Kreis die Gerade des Zentrums schneidet kommt der neue Punkt A hin. Das gleiche Spielen machen wir bei den Punkten B1 und C1 und wir erhalten die neuen Punkte B und C. Nun verbinden wir alle Punkte miteinander und wir erhalten ein neues Dreieck.
Wenn wir also für jeden Punkt einen Kreis brauchen, haben wir das Dreieck mit dem Streckfaktor 2 zentrisch gestreckt. Für den Streckfaktor 3 brauchen wir dann also 2 Kreise für jeden Punkt, bei Streckfaktor 4 brauchen wir 3 Kreise pro Punkt etc.
Herleitung
1. Strahlensatz
Gegeben sind 2 Strecken b und c mit dem Anfangspunkt A, diese Strecken werden zu den Strecken f und g verlängert und die neuen Abschnitte werden k und j genannt. Die Strecken werden durch 2 parallele Geraden geschnitten, dort wo die Parallelen sie Strecken schneiden, werden die Punkte B, C, D und E eingezeichnet.
Der 1. Strahlensatz:
$\frac{b}{f}=\frac{c}{g}$
$\frac{b}{j}=\frac{c}{k}$
D.h. die Originalstrecke mit der neuen Strecke dividieren und die Originalstrecke mit den neuem Teil der neuen Strecke auch dividieren.
2. Strahlensatz
Gegeben sind 2 Strecken b und c mit dem Anfangspunkt A, diese Strecken werden zu den Strecken f und g verlängert und die neuen Abschnitte werden k und j genannt. Die Strecken werden durch 2 parallele Geraden geschnitten, dort wo die Parallelen sie Strecken schneiden, werden die Punkte B, C, D und E eingezeichnet.
Der 2. Strahlensatz:
$\frac{b}{f}=\frac{BC}{EF}$
$\frac{c}{g}=\frac{BC}{EF}$
Beispiel
Gegeben ist ein Dreieck A B C, welches zum Dreieck A D E gestreckt wurde. Nun soll bewiesen werden, dass diese Dreiecke ähnlich zueinander sind.
Als nächstes werden innerhalb des Dreiecks 3 neue Strecken bc bf cf gezeichnet und der neue Punkt F wird auf der Strecke g hinzugefügt, so erhalten wir das Parallelogramm A B F C. Nicht nur ein Parallelogramm ist im Dreieck enthalten, sondern auch 3 neue Dreiecke mit dem Originaldreieck, zusammen also 4 Dreieck in einem. Jetzt muss bewiesen werden das alle Dreiecke im großen Dreieck kongruent zueinander sind. Dafür zeichnen wir die passenden Winkel ein.
Wir nehmen Punkt A und zeichnen den Winkel α 45°. Alle gegenüberliegenden Winkel (und Strecken) sind gleich beim Parallelogramm (fast alle Vierecke).
D.h. bei Punkt F befindet sich der selbe Winkel β 45°. Bei Punkt C kommt der Stufenwinkel γ 45° von α. Und bei B kommt der Wechselwinkel ζ 45° von β. Durch die Strahlensätze wissen wir das die Strecken b, bf und CE und die Strecken c, bd und cf gleich lang sind. Denn:
$\frac{b}{f}=\frac{c}{h}$
Und durch den Kongruenzsatz SWS (Winkel+anliegende Strecken), wissen wir das die Dreiecke kongruent zueinander sind und die Dreiecke A B C und A D E ähnlich sind. Ein weiterer Beweis für die Ähnlichkeit ist das, im großen Dreieck befindenden, Parallelogramm A B F C, denn wenn der Punkt F auf der Strecke g liegt, sind die Dreiecke ähnlich.
Streckfaktoren-Regeln
$1<k$: Vergrößerung
$0<k<1$: Verkleinerung
$k< -1$: Vergrößerung+Spiegelung
$-1<k<1$: Verkleinerung+Spiegelung
$k=1$: Keine Veränderung
Denn dann müsste gelten:
$k=\frac{0}{a1}=0$ und eine Strecke mit 0cm Länge gibt es nicht !!!
Für die Überprüfung gilt:
$k\cdot a1=a$
Wenn man den Streckfaktor mit der Originalstrecke multipliziert, erhält man die neue Strecke. Es sei denn der Streckfaktor ist negativ, denn das Ergebnis wäre ebenfalls negativ und eine Strecke mit -xcm Länge gibt es nicht. Bei negativen Streckfaktor muss man diesen mit der Originalstrecke dividieren und man erhält die neue und verkleinerte Strecke.
Zum Beispiel:
$b1:k=\frac{b1}{k}=b$
Aufgaben
Aufgabe 1
a) Gegeben ist ein Dreieck A1 B1 C1 mit den Längen:
a1: 5cm
b1: 3cm
c1: 6,5cm
Dieses wird zentrisch gestreckt und wir erhalten das Dreieck A B C mit den Längen:
a: 7,5cm
b: 4,5cm
c: 9,75cm
Wie viel beträgt der Streckfaktor ???
b) Das Dreieck A1 B1 C1 wird mit dem Streckfaktor -1 zentrisch gestreckt mit den Längen:
a1: 12,45cm
b1: 6,55cm
c1 7,75cm
Welche Längen hat das neue Dreieck ???
Aufgabe 2
Spongebob will ein Quadrat mit dem Streckfaktor 2 zentrisch strecken. Er sucht sich ein Zentrum, zieht Geraden vom Zentrum durch alle Ecken und sucht sich auf den Geraden 4 neue Punkte aus. Der Abstand zwischen den neuen Punkten und den Originalpunkten ist doppelt so groß wie der Abstand zwischen den Originalpunkten und dem Zentrum. Plötzlich kommt Patrick und meint: „ Spongebob, du hast das Quadrat falsch gestreckt und dir aus viel zu viel Arbeit gemacht !!!“
a) Erkläre, ob Patrick recht hat und was Spongebob falsch gemacht hat.
b) Warum hat Spongebob sich zu viel Arbeit gemacht ???
Aufgabe 3
Wurde dieses Dreieck korrekt zentrisch gestreckt ???
Lösungen
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
