Binomische Formeln

Jeder von uns kennt die binomischen Formeln, sie sollen uns das Rechnen mit Potenzen und Klammern erleichtern. Man kann sie besser anwenden, wenn man sie richtig versteht.

Doch wie kommen sie zustande? Die binomischen Formeln bauen auf dem Distributivgesetz auf. Hier nochmal eine kleine Erinnerung an das Gesetz; wichtig ist, dass die Regel „Punkt vor Strich Rechnung“ beachtet wird.

• $a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c)$

Wer sich das Gesetz nochmal genau angucken will kann das unter diesen Link: Distributivgesetz

Es gibt drei verschiedene binomischen Formeln:

• 1. Binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
• 2. Binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
• 3. Binomische Formel: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Wenn man sich die Herleitungen der Formeln anguckt, sieht man, dass es nichts anders ist als das Ausmultiplizieren/Zusammenfassen von Klammern ist.

• 1. Binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
• Herleitung: $(a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$
• Beispiel: $(4+9)^2=4^2+2\cdot4\cdot9+9^2$
• $=16+72+81$
• $=169$

• 2. Binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
• Herleitung: $(a-b)^2=(a-b)\cdot (a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$
• Beispiel: $(4-9)^2=4^2-2\cdot4\cdot9+9^2$
• $=16-72+81$
• $=25$

• 3. Binomische Formel: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
• Herleitung: $(a+b) (a-b)=a^2-ab+ba=a^2-b^2$
• Beispiel: $(4+9) (4-9)=4^2-9^2$
• $=16-81$
• $=-65$

In der nachfolgenden Abbildung seht ihr die geometrische Veranschaulichung der 1. binomischen Formel.

1. Binomische Formel: Das Quadrat hat die Seitenlänge $(a+b)$. Außerdem passen in das Quadrat jeweils einmal $a^2$ , $b^2$ und zweimal $a\cdot b$. Daraus ergibt die dann die erste binomische Formel.

Für die beiden anderen binomischen Formeln gibt es auch geometrische Veranschaulichungen, jedoch helfen sie meines Erachtens nicht zum Verständnis der binomischen Formeln, da sie sehr unübersichtlich sind. Wer sie sich jedoch angucken will, kann auf den folgenden Link klicken, dort sind sie zu finden. https://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formeln#Geometrische_Veranschaulichung

Natürlich kann es sein, dass man nur den zweiten Teil einer binomischen Formel hat wie z.B. $4a+16ab+16b$. Dann muss man die binomische Formel „rückwärts“ anwenden:

• $4a+16ab+16b$
• $=2a^2+2\cdot(2a\cdot4b)+4^2$
• $=(2a+4b)^2$

Die binomischen Formeln kann man auch bei anderen Exponenten anwenden, zum Beispiel mit dem Exponent 3. Die Vorgehensweise ist gleich, man muss nur wieder richtig ausklammern.

• $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
• Herleitung:
• $(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)\cdot(a+b)$
• $(a+b)^3=(a+b)\cdot(a^2+ab+ba+b^2)$
• $(a+b)^3=(a+b)\cdot(a^2+2ab+b^2)$
• $(a+b)^3=a \cdot a^2+a \cdot 2ab+a \cdot b^2+b \cdot a^2+b \cdot 2ab+b \cdot b^2$
• $(a+b)^3=a^3+3ab^2+3a^2b+b^3$

Eben hatten wir das Beispiel mit den Exponenten 3. Da es sehr aufwendig ist, jedes mal bei einem andern Exponenten die komplette Herleitung aufzuschreiben, gibt es das „Pascalsches Dreieck“. Dieses Dreieck vereinfacht uns das Ganze.

Erstmal zum Aufbau des Dreiecks: Wie man auf der Abbildung schon sehen kann, steht außen immer die 1. Um die Zahlen zwischen den Einsen herauszufinden, muss man nur die beiden Zahlen darüber addieren, also $1+1$ ist 2, deswegen ist in der 3. Zeile eine 2. Um die nächste Zeile herauszufinden, muss man nun also erst außen wieder die Einsen hinschreiben und dann wieder die oberen Zahlen addieren: $1+2$ ist 3 und dann muss man nochmal $1+2$ rechnen. Und immer so weiter.

Was hilft uns das nun für die binomischen Formeln? Mit diesem Dreieck kann man nun alle beliebigen binomischen Formeln mit allen Exponeten ganz leicht herleiten. Fangen wir mit der ersten Zeile des Dreiecks an: Diese Zeile bezieht sich auf $(a+b)^0$ was $1\cdot a^0b^0$ ist. Die 2. Zeile bezieht sich auf $(a+b)^1$ was $1a^1b^0+1a^0b^1$ ist. Die 3. Zeile bezieht sich sich auf $(a+b)^2$ was $1a^2b^0+2a^1b^1+1a^0b^2$ ist. Man kann also langsam das System des Pascalsches Dreieck erkennen. Es gibt uns die Zahlen an, welche zu den Binomischen Formeln gehören. Gucken wir uns mal die 4. Zeile an, welche ja die Zahlen 1,4,6,4,1 hat. Diese Zahlen kommen also in der Formel vor: $(a+b)^4$ (da es die 4. Zeile ist) und das ist: $1a^4b^0+4a^3b^1+6a^2b^2+4a^1b^3+1a^0b^4$.

Um die Exponenten für a und b herauszufinden, gibt es einen einfachen Trick: Der Exponent von a nimmt in jeder Formel stets um 1 ab, der Exponent von b stets um 1 zu (Bsp.: $(a+b)^4$ Exponent von a: 4,3,2,1,0 und Exponent von b: 0,1,2,3,4). Natürlich kann man die Variablen mit dem Exponenten 0 oder 1 weglassen oder die 1 vor den Variablen, dies diente nur zur Veranschaulichung.

Wende die binomischen Formeln an!

1a) $(2a-3b)^2$

1b) $(4+5)^2$

1c) $(a+2b)(a-2b)$

1d) $(3-6a)^2$

Faktorisiere (reche die binomische Formel „rückwärts“)!

2a) $4x^2+12x+9x$

2b) $9x^2+12xy+4y^2$

2c) $16x^2-72xy+81y^2$

2d) $9x^2-4y^2$

Wende die binomischen Formeln mithilfe des Pascalsches Dreieck an!

3a) $(a+b)^5$

3b) $(a+b)^6$

Löse die Gleichungen und wende dabei die binomische Formel an!

Zur Hilfe, kannst du dir das Lösen von Gleichungen mit einer Variable angucken.

4a) $6(a+2)^2-6a^2=144$

4b) $8(a+5)^2-8a^2=96$

Wer mehr über die das Lösen von quadratischen Gleichungen erfahren will, kann sich auch die Seite der pq-Formel angucken.