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Ein Dreieck zu konstruieren ist immer von den gegebenen Angaben abhängig. Außerdem gibt es neben der zeichnerischen Möglichkeit, auch die mathematische, welche die gesuchten Angaben vereinfacht herausfindet. Bei beiden Möglichkeiten gibt es weitere Unterkategorien, welche auf unterschiedliche Angaben spezialisiert sind und jedes mögliche Dreieck bilden und jede Angabe herausfinden können.
Legende s = Seite; w = Winkel; H = Hypotenuse; A = Ankathete; G = Gegenkathete; hc = Höhe; p & q = Hypotenusenabschnitt
zeichnerisch
Kongruenzsätze: Kongruente Dreiecke und Kongruenzsätze
sss
konstruierbar wenn:
- Länge der 3 Seiten gegeben sind
• Für jedes Dreieck gilt: Die Länge einer Seite muss immer kleiner sein, als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten. 
Ungleichungen:
• a < b + c
• b < a + c
• c < a + b
sws
konstruierbar wenn: 
- Länge zweier Seiten und Größe des Winkels
der zwischen den Seiten liegt gegeben sind
wsw
konstruierbar wenn: 
- Länge einer Seite und die Größe der anliegenden Winkel gegeben sind
Ssw
konstruierbar wenn:
- Länge zweier Seiten und die Größe des Winkels
der gegenüber der längeren Seite liegt, gegeben sind
Vorgehen -> genaue Konstruktion
• Mit einer ausgewählten Seite beginnen und danach restlichen Größen hinzufügen
- Seitenlängen mit Zirkel eintragen; Winkel mit dem Geodreieck
Konstruktionsbeispiel:
I. Gerade zeichnen und Punkt A auswählen
II. Kreis um Punkt A zeichnen, Radius = Größe Seite c 
III. Schnittpunkt der Geraden und des Kreises ergeben Eckpunkt B
IV. Kreis um B zeichnen, Radius = Größe Seite A
V. Kreis um A zeichnen, Radius = Größe Seite B
VI. Schnittpunkt der beiden Kreise ist Punkt C
mathematisch
Winkelfunktion sin/ cos/ tan
• Sinus: sin(α) = G/H = a/c
Beispiel: a = 3cm; c= 5cm -> a/c = 3/5 = 0,6 |arc sin = 36.87°
• Kosinus: cos(α) = A/H = b/c
Beispiel: b = 3cm; c = 5cm ->b/c = 3/5 = 0,6 |arc cos = 53,13°
• Tangens: tan(α)=G/A = a/b
Beispiel: a = 3cm; b = 3cm ->a/b = 3/3 = 1 |arc tan = 45°
Sinus- und Kosinussatz
• Sinussatz: a/sin(α)= b/sin(β)= c/sin(γ) → Winkelergebnis
→Stellt Beziehung zwischen Winkel und gegenüberliegenden Seiten her
• Kosinussatz:
a² = b² + c² – 2bc • cos(α)
b² = a² + c² – 2ac • cos(β)
c² = a² + b² - 2ab • cos(γ)
→Stellt Beziehung zwischen 3 Seiten und einem Winkel her
- Beispiel: b = 3cm; c = 7cm; α = 35º
a² = 3² + 7² - 2 • 3 • 7 •cos(35°) a ≈ 23,60
Pythagoras
• a² + b² = c² 
- Beispiel: a = 5cm; b = 3cm
c² = 5² + 3²
c² = 25 + 9
c = √34
c ≈ 5.83
Katheten- und Höhensatz des Euklids
https://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_des_Pythagoras
• Kathetensatz: a² = c • p und b² = c • q
- Beispiel: a = 3cm; p = 5cm
a² = c • p
3² = c • 5
c = 3²⁄ 5
c = 1.8
• Höhensatz: h² = p • q
- Beispiel: p = 3cm;q = 5cm
h² = 3 • 5 h² = 15² h = √(15) h ≈ 3.87
Aufgaben
Berechne die fehlenden Längen
sin/cos/tan
γ=90°
a=12,7cm
c=24,9cm
b, β, α = ?
Sinus- und Kosinussatz
a = 2cm
b = 3 cm
γ = 100°
c = ?
Satz des Pythagoras
a = 3cm
b=3cm
c=?
Katheten- und Höhensatz des Euklids
c = 10cm
p = 5cm
a = ?
b = ?
Bildquellen
http://dmuw.zum.de/wiki/Aufgaben_8._Klasse/Kongruenz/Seite_1b https://de.serlo.org/uploads/legacy/4072_CVNSFAM1rd.png http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/kongruenz/lernpfad/content/kongruenzsaetze/wsw.gif https://de.serlo.org/uploads/legacy/8288_CN6EaMmx0i.png http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/kongruenz/lernpfad/content/kongruenzsaetze/ssw2.gif http://rmg.zum.de/images/0/0c/Benennung_rechtwinkliges_Dreieck_für_Höhensatz.png