Immer wieder kommt es vor, dass du nicht weißt, wie du Prozente und Zinsen berechnen kannst? Dann habe ich hier eine Wiederholung für dich:

1%, 15%, 100%
Das sind alles Prozentzahlen. Doch was bedeuten sie und wie berechnet man sie?

Daher gilt: p% = $\frac{p}{100}$
1% = $\frac{1}{100}$ ; 15% = $\frac{15}{100}$ ; 100% = $\frac{100}{100}$ = 1
Manchmal kommen in Prozentangaben auch Dezimalbrüche vor:
4,5% = $\frac{4,5}{100}$ = $\frac{45}{1000}$ = 0,045 → als Dezimalzahl
Wenn du wissen willst, wie man mit Brüchen rechnet, schau hier vorbei: Bruchrechung

Auf manchen Nahrungsmitteln steht, wie viel bspw. Prozent Fett enthalten ist. Ein 250g Nahrungsmittel enthält 50g Fett.
Wie viel Prozent Fett enthält es?

Man muss berechnen, welchen Anteil 50g von 250g ausmachen.
Gegeben: Grundwert (das Ganze) G = 250g ; Prozentwert (Teil des Ganzen) pW = 50g
Gesucht: Prozentsatz (Anteil am Ganzen) p% = ?

250g · p% = 50g | :250g ⇒ nach p% umstellen
p% = $\frac{50}{250}$ = $\frac{1}{5}$ = $\frac{20}{100}$ = 20%
Ergebnis: Das Nahrungsmittel enthält 20% Fett.

Niedersachsen hat eine Gesamtfläche von ca. 48000 $km^2$. Die Waldfläche beträgt davon ca. 20%. Wie groß ist die Waldfläche Niedersachsens insgesamt?

Gegeben: Grundwert G = 48000 $km^2$ ; Prozentsatz p% = 20%
Gesucht: Prozentwert pW = ?
Man weiß: 20% von 48000 $km^2$ sind 48000 $km^2$ · 20% und 20% kann man als $\frac{20}{100}$ oder 0,2 schreiben.
Rechnung mit Bruch:
pW = 48000 $km^2$ · $\frac{20}{100}$ ⇒ 20%
= 9600 $km^2$
Rechnung mit Dezimalbruch:
pW = 48000 $km^2$· 0,2
= 9600 $km^2$
Ergebnis: Die Waldfläche Niedersachsens beträgt ca. 9600 $km^2$.

An einer Schifffahrt nehmen 280 Personen teil. Das Schiff ist bei dieser Fahrt zu 70% ausgebucht. Wie viele Fahrgäste kann das Schiff befördern?

Wir wollen wissen, von welchem Betrag (Grundwert) 70% berechnet worden sind. 70% vom Grundwert sind somit 280 Personen.
Gegeben: Prozentwert pW = 280 ; Prozentsatz p% = 70%
Gesucht: Grundwert G = ?
G · 70% = 280 | :70%
⇒ nach G umstellen G = 280 : 70%
Wir wissen, dass man 70% auch als $\frac{70}{100}$ oder 0,7 schreiben kann.
Rechnung mit Bruch:
G = 280 : $\frac{70}{100}$ ⇒ 70%
= 280 · $\frac{100}{70}$
= 400 Personen
Rechnung mit Dezimalbruch:
G = 280 : 0,7 ⇒70% = 400 Personen
Ergebnis: Das Schiff kann 400 Fahrgäste befördern.

Hier sind noch einmal alle drei Formeln, allerdings so, dass das Ergebnis durch den Faktor 100 gleich als Prozent herauskommt. Das große P steht für den Prozentwert und das kleine p steht für den Prozentsatz.

Ein Auto kostet 21500€. Der Preis erhöht sich um 3%. Wie teuer ist das Auto dann?

Die Aufgabe kann man auf zwei Arten lösen:
1. Weg: Zum alten Preis von 21500€ kommen 3% von 21500€ dazu. Daher rechnet man zuerst die Erhöhung aus.
3% von 21500€ = 21500% · $\frac{3}{100}$ = 645€
Alter Preis + Erhöhung = 21500€ + 645€ = 22145€ ⇒ neuer Preis
2. Weg: Der neue Preis ist 103% des alten Preises. Daher kann man auch rechnen:
21500€ · 1,03 = 22145 €
Ergebnis: Der Auto ist dann 22145 € teuer.

Was ist der Unterschied zwischen Erhöhung um… und Erhöhung auf…?

Um den Prozentsatz auszurechen, muss man den Anteil der Erhöhung vom Grundwert ermitteln.
Bsp.: Erhöhung von 720 auf 774, also um 54 ⇒ $\frac{54}{720}$ = 0,075 = 7,5 % ⇒Erhöhung um 7,5%, auf 107,5%
Ein anderer Weg ist, den Prozentwert durch den Grundwert zu teilen und von dem Prozentergebnis 100% abzuziehen.
Bsp.: p% = $\frac{774}{720}$ = 1,075 = 107,5% ⇒107,5% - 100% = 7,5%

Um den Grundwert auszurechnen, musst du wissen, dass sich der neue Prozentwert aus dem Grundwert und der Erhöhung um … % des Grundwertes zusammensetzt. Der neue Prozentwert ist 100% + z.B. 7,5%, also 107,5% des Grundwertes.
Bsp.: Grundwert wird um 7,5% auf neuen Wert 774 (107,5%) erhöht
G = 774 : 107,5% = 774 : 1,075 = 720

Wenn ein Wert wie z.B. der Energiebedarf eines Haushaltes um …% sinkt, kann man wieder wie in der Autoaufgabe (1. Rechenweg) verfahren, nur dass man nicht die Erhöhung hinzuaddiert, sondern die Verminderung abzieht.
Beim 2. Weg rechnet man nicht mal 100% + z.B. 6%, sondern mal 100% - 6%.

Um den Prozentsatz zu berechnen, geht man wie im Abschnitt „Berechnen des Prozentsatzes“ bei „Prozente über 100%“ vor. Beim ersten Rechenweg ist es aber wichtig, dass man den Anteil der Verminderung vom Gundwert ermittelt, um herauszufinden, um wie viel Prozent etwas gesenkt wurde. Den herausgefundenen Prozentsatz zieht man nun von 100% ab, anstatt ihn hinzuzuaddieren, wenn man herausfinden will, auf wie viel Prozent etwas gesenkt wurde.
Beim 2. Weg besteht der Unterschied, dass man den neuen Prozentwert durch den Grundwert teilt, dementsprechend kommt auch ein Prozensatz unter 100% heraus. Nun zieht man anders als oben von 100% den ermittelten Prozentsatz ab.

Um den Grundwert zu ermitteln, muss man wissen, dass sich der neue Prozentwert aus dem Grundwert und einer Verminderung um …% des Grundwertes zusammensetzt. Der neue Prozentwert ist 100% - z.B. 20%, also 80% des Grundwertes.

Wenn man Geld übrig hat, kann man es einer Bank zur Verfügung stellen. Später bekommt man dieses Geld (Kapital) zurück und erhält dazu einen bestimmten Prozentsatz davon zusätzlich. Diesen zusätzlichen Betrag nennt man Zinsen. Der Prozentsatz für das Anlegen des Geldes wird Zinssatz genannt. Wenn man sich Geld bei einer Bank oder Sparkasse leiht (z.B. für ein Haus oder Auto), muss man dafür Zinsen zahlen. Im nächsten Abschnitt zeige ich dir, wie man Berechnungen mit Zinsen für ein ganzes Jahr durchführt.

Beispielaufgabe zum Berechnen der Jahreszinsen (Prozentwert):
Zur Sparkasse werden 450€ am Jahresanfang gebracht. Am Ende des Jahres erhält man auf dem Sparkonto 2% Zinsen. Wie viel Euro Zinsen sind das?

Gegeben: Grundwert (Kapital) = 450€ ; Prozentsatz (Zinssatz)= 2%
Gesucht: Prozentwert (Zinsen Z)= ?
Wir wissen: Kapital · Zinssatz = Jahreszinsen ⇒ 450€ · 2% = Z
Z = 450€ · 0,02 = 9€
Ergebnis: Am Jahresende werden es 9€ Zinsen sein.

Man verfährt also wie beim Berechnen des Prozentwertes. Beim Berechnen des Kapitals und des Zinssatzes rechnet man auch wie oben beim Berechnen des Grundwertes und Prozentsatzes.

Oft bleibt das Geld für einen anderen Zeitraum als ein Jahr auf dem Konto. Dann richten sich die Zinsen nach der Zeitdauer. Zur Hälfte/zum Drittel/zum Viertel… der Zeitdauer (ein Jahr) gehört auch die Hälfte/ein Drittel/ein Viertel… der Zinsen.

Bespiel: Herr Meyer hat zu Jahresbeginn 600€ auf seinem Sparbuch. Der Zinssatz beträgt 3%.
a) Er hebt sein Geld nach einem $\frac{3}{4}$ Jahr ab. Wie viel Zinsen erhält er?
b) Er hebt sein Geld nach 5 Monaten ab. Wie viel Zinsen erhält er jetzt?

Der Zinssatz bezieht sich auf ein Jahr. Daher sollten zunächst die Zinsen für ein Jahr berechnet werden: 600€ · 0,03 = 18€
a) Von diesen Jahreszinsen erhält er nur den Anteil $\frac{3}{4}$, also:
$\frac{3}{4}$ von 18€ = $\frac{3}{4}$ · 18€ = 13,50€
Ergebnis: Herr Meyer erhält 13,50€ Zinsen.
b) Für einen Monat würde er $\frac{1}{12}$ der Jahreszinsen erhalten: 18€ : 12 = 1,50€
Um den Betrag für 5 Monate zu berechenen, muss man mal fünf rechnen (für 5 Monate erhält er fünfmal so viel):
1,50€ · 5 = 7,50€
Ergebnis: Er erhält 7,50€ Zinsen.

Kapitalwachstum nach 1,2,3… Jahren:
Ein Kapital wächst zusammen mit den Zinseszinsen beim Zinssatz 4%.
nach 1 Jahr auf das 1,04-fache,
nach 2 Jahren auf das 1,04 · 1,04-fache ($1,04^2$-fache),
nach 3 Jahren auf das 1,04 · 1,04 · 1,04-fache ($1,04^3$-fache) usw.

Der Dreisatz ist ein einfaches Lösungsverfahren, das man anwenden kann, wenn die Werte zweier Größen immer in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen.
• Bekannt bzw. in der Aufgabenstellung angegeben ist dabei ein Paar einander zugeordneter Werte.
• Für die eine der beiden Größen wird nun in der Aufgabe der Wert geändert.
• Mit dem Dreisatz errechnet man dann den neuen Wert der anderen Größe

Den Dreisatz kann man sowohl bei Proportionalität als auch bei Antiproportionalität anwenden. Wenn du nicht weißt, was das ist, schau hier vorbei: Proportionale und Antiproportionale Zuordnung

Ein einfacher Dreisatz ist eine Tabelle mit drei Zeilen und zwei Spalten, die du einfach nach einem bestimmten Schema befüllen musst. Hilfreich am Dreisatz ist, dass das Schema immer das gleiche ist. Um einen einfachen Dreisatz einsetzen zu dürfen, muss ein proportionaler Zusammenhang existieren. Dazu ein Beispiel: Du gehst in den Supermarkt und kaufst 6 Tafeln Schokolade für 3€. Wie viel müsstest du bezahlen, wenn du 8 Tafeln Schokolade kaufen wolltest? Für solche Fragen lohnt sich der Einsatz des Dreisatzes. Das Beispiel tragen wir in die Tabelle ein:

Da man nicht durch einfaches Multiplizieren von 6 Tafeln auf 8 Tafeln kommt, sucht man sich links einen Zwischenwert, auf den man durch angenehmes Dividieren auf beiden Seiten kommt. Damit ist gemeint, dass man eine Zahl wählt, durch die man auf beiden Seiten einfach teilen kann. In diesem Fall bietet sich durch 3 teilen an. Auf der linken Seite steht dann 2 Tafeln, rechts steht 1€. Wir haben nun den Preis für 2 Tafeln Schololade berechnet.

Was muss man nun tun, um links auf 8 Tafeln zu kommen? Man multipliziert einfach mit 4 und da es sich hier um Dreisatz handelt, macht man dies auch auf der rechten Seite.

Ergebnis: Man stellt fest 1€ · 4 = 4€, d. h. 8 Tafeln Schokolade kosten 4€.

Auch mit dem Deisatz kann man Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz berechnen.
Beispiel zum gesuchten Prozentwert:
Wie viel Euro sind 30% von 250€?

Ergebnis: 30% von 250€ sind 75€.
Beispiel zum gesuchten Grundwert:
Ein Ware wird 20% billiger und kostet jetzt 160€. Was kostete sie vorher?
Die Ware wurde um 20% billiger, kostet also nur 100% - 20% = 80% des Ausgangspreises.

Ergebnis: Die Ware kostete vorher 200€.
Beispiel zum gesuchten Prozentsatz:
Von 25 Schülern haben 8 Schüler eine Katze zuhause. Wie viel Prozent der Klasse sind das?

Ergebnis: Es sind 32% der Klasse.
Wichtig: Eigentlich schreibt man über die beiden Spalten das gegebene Wertepaar (in diesem Fall Anzahl der Schüler und Prozentanteil) sowie die Einheiten (z.B. L; €…). Das war hier nicht möglich, weil es sich um ein Bild handelt, das eingefügt wurde und ich nicht bearbeiten kann. Man sollte dies aber immer hinschreiben. Du siehst, wie einfach man mit dem Dreisatz Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz berechnen kann.

Du weißt, wie man bei proportionalen Zuordnungen bei der Benutzung des Dreisatzverfahrens vorgeht. Doch wie funktioniert der Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen?
Beispielaufgabe: 3 Pflasterer brauchen zum Pflastern für einen Teil des Bürgersteigs 12 Stunden. Wie viel Zeit benötigen 4 Pflasterer?
Hierbei wird vorausgesetzt, dass jeder Pflasterer gleich viel an einem Tag schafft. Dann ist die benötigte Zeit antiproportional zur Anzahl der Pflasterer. Denn z. B. doppelt so viele Pflasterer brauchen nur halb so lange.

Als Zwischenwert sucht man sich dieses Mal die Zahl 1 auf der linken Seite. Um dorthin zu gelangen, muss man durch 3 auf der linken Seite teilen. Doch auf der rechten Seite rechnet man, da es sich um Antiproportionalität handelt, entgegengesetzt. 12h · 3 = 36h ⇒ 1 Arbeiter würde 36h brauchen.
Danach multipliziert man auf der linken Seite 1 mit 4, um auf 4 Pflasterer zu kommen. Rechts rechnet man wieder entgegengesetzt, d. h. 36h : 4 = 9h.
Ergebnis: 4 Pflasterer brauchen 9h.

1.
a) Gib den Anteil in Prozent an: (1) 200g von 1500g (2) 18kg von 240kg
b) Berechne den Prozentwert (1) 17% von 258€ (2) 120% von 341,7 l
c) Berechne den Grundwert (1) 23% von G sind 125m (2) 61,7% von G sind 438,07€

2. In der Musikschule sind 324 Schüler angemeldet. Davon spielen 128 ein Streich- und 65 ein Blasinstrument. Zum Klavierunterricht sind 42 Schüler angemeldet und 20 nehmen Gesangsunterricht. Wie groß ist der Anteil sonstiger Instrumente in Prozent?

3. Durch einen Anbau konnte die Wohnfläche eines Einfamilinhauses von 148$m^2$ auf 176 $m^2$ vergrößert werden. Um wieviel Pozent wurde die Wohnfläche vergrößert?

4. Tanja hat am Jahresanfang Geld auf einem Sparbuch angelegt. Bei einem Zinssatz von 2,5% erhält sie 8,75€ Zinsen. Wie viel Geld hat sie angelegt?

5. Tanjas Vater hat sein Konto mit 2500€ für 2 Monate überzogen. Der Zinssatz für den Überziehungskredit beträgt 12%. Wie viel Zinsen muss er bezahlen?

6. Entscheide, ob die Zuordnung proportional ist.

7. Drei Mähdrescher schaffen die Ernte eines großen Feldes in 12 Stunden. Wie viel Zeit benötigen 5 Mähdrescher?