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Sinus, Kosinus, Tangens in Dreiecken
Mithilfe der Trigonometrie (griechisch, übersetzt: „Dreieck“, „Maß“) kann man aus gegebenen Größen eines rechtwinkligen Dreiecks die anderen gesuchten Größen des Dreiecks berechnen.
Die trigonometrischen Funktionen zur Berechnung lauten: Sinus, Kosinus und Tangens.
Ihre Herleitung findet ihr hier: Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
Wichtig sind zuallererst drei Begriffe:
Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse
Die Hypotenuse (hier Seite b) ist die längste Seite des Dreiecks und liegt gegenüber vom rechten Winkel (hier β). Von dem Winkel α ausgegangen ist Seite a die Gegenkathete, denn die Gegenkathete liegt immer gegenüber vom Winkel. Seite c ist hier die Ankathete. Die Ankathete ist diejenige Seite, die ein Schenkel des Winkels ist und somit am Winkel (hier α) anliegt.
Aufgabe
(auf das vorherige Dreieck bezogen)
Setze die 3 Begriffe ein.
- Ausgegangen vom Winkel γ ist a die
- Seite c ist die
- Seite b bezeichnet man in diesem rechtwinkligen Dreieck als
Lösung
Aufgabe
(auf das obige Dreieck bezogen)
Setze die 3 Begriffe ein.
Für den Winkel β ist…
- Seite a die
- Seite b die
- Seite c die
Für den Winkel γ ist …
- Seite a die
- Seite b die
- Seite c die
Lösung
Der Kosinus eines Winkels definiert das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse und
der Tangens eines Winkels definiert das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete.
Die Seiten werden jeweils durcheinander geteilt.
Merkspruch: GAGA und HühnerHaufenAG
Weitere Regeln
$sin(α)$=$cos(β)$ und
$cos(α)$=$sin(β)$
Beweis
$\frac{a}{c}= \frac{a}{c}$
$\frac{b}{c}=\frac{b}{c}$
Beweis an einem bei C rechtwinkligen Dreieck ABC
Mit sin(α)=$\frac{a}{c}$ und cos(α)=$\frac{b}{c}$ gilt:
$(\frac{a}{c})^2$+$(\frac{b}{c})^2$
=$\frac{a^2}{c^2}$+$\frac{b^2}{c^2}$
=$\frac{a^2+b^2}{c^2}$=1
Denn im rechtwinkligen Dreieck gilt: $a^2+b^2$ = $c^2$ (Satz des Pythagoras)
Beweis
Mit den bisher bekannten Beziehungen sin(α)=$\frac{a}{c}$ und cos(α)=$\frac{b}{c}$ ergibt sich:
$\frac{sin(α)}{cos(α)}$=sin(α) : cos(α)
=$\frac{a}{c}$ : $\frac{b}{c}$
=$\frac{a}{c}$$\cdot$$\frac{c}{b}$
=$\frac{a}{b}$ Dies ist tan(α)
Tipps
Beispiel
gegeben: α=33°; β=84°
gesucht: γ
$$ \begin{array}{lcr} γ=180°- (α+β)\\ γ=180° - (33°+84°)\\ γ=180°- 117°\\ γ=63°\\ \end{array}$$
- Benutze deinen Taschenrechner zum bestimmen der Winkelgrößen
- Stelle den Taschenrechner auf „Gradmaß“ ein
- Benutze die Umkehrtasten: arcsin, arccos, arctan
Beispiel
sin(α)=0,5
α=arcsin(0,5)
α=30°
Aufgaben zur Anwendung
1. Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seiten a=4cm; b=5cm; c=3cm. Der rechte Winkel des Dreiecks liegt bei β. Gesucht wird sin(α), sin(γ), cos(α), cos(γ).
2. Gegeben sind: γ=90°; a=12,7cm; c=24,9cm, gesucht werden α, β, b.
3. Gegeben sind: α=90°; γ=40,3°; a=10,5cm, gesucht werden b, c, β.
