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Definition von Vierfeldertafeln

Vierfeldertafeln sind Hilfsmittel, um Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen darzustellen. Dies macht man in Form einer Tabelle mit vier inneren Feldern. An ihr kann man Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten ermitteln.

Eine weitere Definition zu diesem Thema findest du hier: Baumdiagramme und Vierfeldertafeln

Beschriftung von Vierfeldertafeln

Unabhängig davon, ob man Wahrscheinlichkeiten oder Häufigkeiten beschreiben will, stehen

in der ersten Zeile die Symbole für das Ereignis $A$ und sein Gegenereignis $\overline{A}$
in der ersten Spalte die Symbole für das Ereignis $B$ und sein Gegenereignis $\overline{B}$
in die Randfelder kommt dann die Summe

	$A$	$\overline{A}$	$\Sigma$
$B$
$\overline{B}$
$\Sigma$

Absolute Häufigkeit

Wenn absolute Häufigkeiten gegeben sind, kommt die Gesamtzahl der betrachteten Merkmalsträger unten rechts in die Tabelle. In der letzten Zeile stehen die Werte für die Häufigkeit von A: $H$($A$) bzw. die von $H$( $\overline{A}$ ). In der anderen dann $H$($B$) und $H$($\overline{B}$).

	$A$	$\overline{A}$	$Summe$
$B$	$H$($A$ $∩$ $B$)	$H$($\overline{A}$ $∩$ $B$)	$H$($B$)
$\overline{B}$	$H$($A$ $∩$ $\overline{B}$)	$H$($\overline{A}$ $∩$ $\overline{B}$ )	$H$($\overline{B}$)
$Summe$	$H$($A$)	$H$($\overline{A}$)	$Gesamtzahl$

Beispiel: Um die Tabelle dann zu füllen sucht man sich die Werte aus der Aufgabenstellung. Die fehlenden Werte kann man dann über folgende Werte ermitteln:

1. $H$($A$ $∩$ $B$) +$H$($\overline{A}$ $∩$ $B$) = $H$($B$)
2. $H$$\overline{A}$( $∩$ $B$) + $H$($\overline{A}$ $∩$$\overline{B}$ ) = $H$($\overline{A}$)

Diese Summen gelten auch für die letzte Zeile bzw. Summe, also:

$H$($A$) + $H$($\overline{A}$) = Gesamtzahl

Es gilt:

Jede absolute Häufigkeit in der untersten Zeile ist die Summe der absoluten Häufigkeiten darüber.
Jede absolute Häufigkeit in der letzten Spalte ist die Summe der beiden absoluten Häufigkeiten links davon.
Die letzte Spalte und die letzte Zeile müssen jeweils in der Summe $G$ ergeben.

Beispielaufgabe:

In einer Statistik vom Kultusministerium werden Daten veröffentlicht. Von insgesamt 602 000 Schülerinnen und Schülern besuchen rund 304 000 Jungs weiterführende Schulen. Davon besuchen 69 600 Jungs Das Gymnasium und 88 700 Mädchen auch das Gymnasium. Aufgabe: Ermittle die fehlenden Daten. 1.Schritt : gegebene Daten eintragen

$Niedersachsen$	$Mädchen$	$Jungen$	$gesamt$
$Gymnasium$	88 700	69600
$andere Schulform$
$gesamt$		304600	602000

Es sind auch andere Reihenfolgen zur Berechnung möglich.

2.Schritt.: weitere Zahlen in die Tabelle eintragen:

Gesamtzahl der Schülerinnen und Schüler am Gymnasium: 88 700 + 69 600 = 158 300
Gesamtzahl der Mädchen: 602 000 - 304 600 = 297 400

Nun die Werte für die andere Schulform .

Gesamtzahl der Schülerinnen und Schüler an einer anderen Schulform: 602 000 - 158 300 = 443 700
Anzahl der Mädchen an einer anderen Schulform: 297 400 - 88 700 = 208 700
Anzahl der Jungen an einer anderen Schulform: 443 700 - 208 700 = 235 000

3.Schritt: Dann werden die Werte in der Vierfeldertafel ergänzt:

$Niedersachsen$	$Mädchen$	$Jungen$	$gesamt$
$Gymnasium$	88 700	69 600	158 300
$andere Schulform$	208 700	235 000	443 700
$gesamt$	297 400	304 600	602 000

Wahrscheinlichkeiten

	$A$	$\overline{A}$	$Summe$
$B$	$P$($A$ $∩$ $B$)	$P$($\overline{A}$ $∩$ $B$)	$P$($B$)
$\overline{B}$	$P$($A$ $∩$ $\overline{B}$)	$P$($\overline{A}$ $∩$ $\overline{B}$ )	$P$($\overline{B}$)
$Summe$	$P$($A$)	$P$($\overline{A}$)	$Gesamtzahl$

Diese Vierfeldertafel ist ähnlich aufgebaut wie die der absoluten Häufigkeit. Der Unterschied besteht darin, dass man hier nicht von Häufigkeiten, sondern von Wahrscheinlichkeiten spricht. Während es z. B. bei der absoluten Häufikgeit $H$($\overline{A}$) hieß, heißt es nun $P$($\overline{A}$).

Somit gilt auch hier:

Jede Wahrscheinlichkeit in der untersten Zeile ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten darüber.
Jede Wahrscheinlichkeit in der letzten Spalte ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten links davon.
die letzte Zeile und die letzte Spalte müssen jeweils in der Summe 1 ergeben.

Relative Häufigkeit

Bei der Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten geht man wie bei den anderen Tafeln vor, nur dass man z.B. anstatt den absoluten Zahlen wie bei der absoluten Häufigkeit ( $H$ ($\overline{A}$) ) usw. nun die relativen Häufigkeiten $h$($\overline{A}$) einträgt. Das sieht dann so aus:

	$A$	$\overline{A}$	Summe
$B$	$h$($A$ $∩$ $B$)	$h$($\overline{A}$ $∩$ $B$)	$h$($B$)
$\overline{B}$	$h$($A$ $∩$ $\overline{B}$)	$h$($\overline{A}$ $∩$ $\overline{B}$ )	$h$($\overline{B}$)
$Summe$	$h$($A$)	$h$($\overline{A}$)	100 %

Anstatt der Gesamtzahl, wie bei der absoluten Häufigkeit, steht nun unten rechts 100%. Aber auch die anderen Werte in den Spalten und Zeilen werden nun in Prozent angegeben.

Um eine Vierfeldertafel in der relative Häufigkeit zu ermitteln, kann man einfach die Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeit umrechnen. Dazu teilt man lediglich jeden Zahlenwert durch die Gesamtzahl unten rechts und schreibt dann die Zahl als Prozentzahl auf.

Der Unterschied zwischen Vierfeldertafeln von relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten liegt darin, dass bei ersterem die Wahrscheinlichkeiten von Zufallsgrößen betrachtet werden, relative Häufigkeiten nur geschätze Wahrscheinlichkeiten sind.

Übungsaufgaben

Aufgabe 1. :

Ermittle die fehlenden Werte in der Vierfeldertafel.

	$erkrankt$	$nicht$ $erkrankt$
$geimpft$	47		125
$nicht$ $geimpft$		21
$Summe$			201

Aufgabe 2. :

Notiere die relative Häufigkeit von dieser Vierfeldertafel.

	$M$	$F$	$Summe$
$P$	200	200	400
$N$	450	150	600
$Summe$	650	350	1000

Lösungen

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Lösung zu Aufgabe 1. :

	$erkrankt$	$nicht$ $erkrankt$
$geimpft$	47	78	125
$nicht$ $geimpft$	55	21	76
$Summe$	102	99	201

Lösung zu Aufgabe 2. :

	$M$	$F$	$Summe$
$P$	20 %	20 %	40 %
$N$	45 %	15 %	60 %
$Summe$	65 %	35 %	100 %