Wachstum bezeichnet die Zunahme von etwas im Zeitverlauf.
Das Gegenteil davon ist der Zerfall, also die Abnahme.

Bei linearem Wachstum handelt es sich um eine bestimmte Größe (n) die in regelmäßigen Abständen (t) um eine gleichbleibende zugehörige Größe (m) zunimmt.
In gleichen Abständen (t) werden zu der Größe (n) immer die gleichen Summanden (m) addiert.
Bei jeder Zeitspanne (t) kommt eine gleiche Menge (m) hinzu.

Proportionales Wachstum ist der Spezialfall linearen Wachstums mit dem Anfangsbestand 0.
Denn wächst ein Bestand so an, dass nach doppelt (dreimal, viermal, …) so langer Zeit der Bestand sich verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, …) so liegt proportionales Wachstum vor.

Außerdem handelt es sich immer um eine lineare Funktion, was auch leicht am Namen zu erkennen ist.

Der Eixer See soll vergrößert werden, und wird aus diesem Grund ausgebaggert. Der anfangs 30000m² große See wird jede Woche um 200m² vergrößert. → Wir erstellen zunächst eine Wartetabelle: Anhand dieser Wartetabelle ist gut zu erkennen, dass immer der gleiche Summand addiert wird.
Immer wenn auf beiden Seiten addiert oder subtrahiert wird, handelt es sich um lineares Wachstum.
Erklärung zur Wertetabelle: In jeder abgelaufenen Woche (+1) erhöht sich die Größe der Wasseroberfläche um 200m² (+200). In 6 Wochen ist so zur Anfangsgröße von 30000m² eine Fläche von $200·6m²$ dazu gekommen. Nach t Wochen beträgt der Zuwachs dann $200·t$ $m²$. Die gesamte Oberfläche des Sees ist dann $(30000+200·t)m²$ groß.
Wir bezeichnen die Größe vom Eixer See zum Zeitpunkt t mit B(t) ☞ B=Bestand
Die Wachstumsformel lautet daher: $B(t)= 30000+200·t$

So können wir dann auch die Formel für lineares Wachstum herleiten:

In diesem Falle:
$n = Anfangsbestand$
$t = Anzahl$ $der$ $Zeitabstände$
$m = dazu$ $zu$ $addierende$ $Größe$
☞ In gleichen Abständen (t) werden zu der Größe (n) immer die gleichen Summanden (m) addiert.

Übungsaufgabe 1

Lineare Wachstumsprozesse werden als Geraden beschrieben.
Diese Geraden werden durch lineare Funktionen angegeben.
Hier findet ihr mehr dazu wie man lineare Wachstumsprozesse zeichnet.

Bei dem obigen☝ Beispiel haben wie die Formel für lineare Wachstumsprozesse wie folgt aufgeschrieben: $B(t)=m·t+n$ Allerdings wird vor allem bei graphischen Darstellungen oft mit einer anderen Formel gearbeitet:

Wir haben ein Reagenzglas mit einem Anfangsbestand an Wasser, der uns unbekannt ist.
In dieses Reagenzglas tropft regelmäßig jeden Tag eine gleiche Menge an Wasser.
Jedoch schaffen wir es nur jeden zweiten Tag zu messen.
Unsere Messergebnisse in einer Wertetabelle:

In diesem Falle:
$x=Zeit (in$ $Tagen)$
$y=Wasser (in$ $ml)$
Die Pfeile ergeben sich jeweils aus den Messergebnissen und so könnten wir auch die anderen Zahlen errechnen. Dies ist allerdings nicht unbedingt notwendig.

Ermittle die Funktionsgleichung.

Wir suchen $g(x)=m·x+b$
Dies geht mit zwei verschiedenen Varianten.

Variante 1: ☞ „graphisch ermitteln“
Zuerst wollen wir den y-Achsenabnschnitt (b) ermitteln. Wo schneidet die Gerade die y-Achse?

So müssen wir also das Feld, des zugehörigen y-Wertes zu x = 0, aus der Tabelle errechnen/das Feld füllen.
→ $30,8-3,5=27,3$ → $b=27,3$

Als nächstes berechnen wir die Steigung.
Da wir pro einem Schritt in x-Richtung je 3,5 Schritte in y-Richtung nach oben gehen, muss die Steigung +3,5 betragen.
Daraus ergibt sich:
$g(x)=3,5·x+27,3$

Variante 2: ☞ rechnerisch
Zuerst dividieren wir zwei Funktionsgleichungen mit beliebig gewählten Werten.

So haben wir die Steigung ermittelt. $m=3,5$ Diesen Wert setzen wir nun eine der obigen☝ Funktionsgleichungen ein und stellen nach b um, um den y-Achsenabschnitt zu ermitteln.
$$ \begin{array}{lcr} 37,8=3,5·3+b\\ 37,8-b=3,5·3\\ -b=-27,3\\ b=27,3 \end{array}$$ Daraus ergibt sich:
$g(x)=3,5·x+27,3$

Überprüfen können wir unsere Ergebnisse, wenn wir uns den Graphen aufzeichnen.

Übungsaufgabe 2

Den linearen Zerfall gibt es zwar. Allerdings wird er oftmals nicht benannt, das sich die Rechnung bei linearem Wachstum und Zerfall nicht groß unterscheidet.
Gleich bleibt die Funktionsgleichung:
$f(x)=m·x+b$
Der einzige Unterschied ist, dass eine negative Steigung vorliegt, da der Graph fällt.
Also → $f(x)=-m·x+b$

Übungsaufgabe 3

Bei exponentiellem Wachstum handelt es sich um eine bestimmte Größe (a), bei der in regelmäßigen Abständen (t) ein gleicher prozentualer Anteil (b) dazu kommt.
In gleichen Zeitabspannen (t) wird eine Größe (a) immer mit einem zugehörigen Faktor (b) multipliziert.
So liegt eine antiproportionale Zuordnung vor.

Der Eixer See hat eine Wasseroberfläche von etwa 40000m².
Da es vor allem im Sommer viele Badegäste gibt wird der See regelmäßig auf die Wasserqualität überprüft.
Es wurde festgestellt, dass sich Algen an der Wasseroberfläche ausbreiten. Anfangs ist die von den Algen bedeckte Fläche 10m² groß. Sie verdoppelt sich jede Woche. → Wir erstellen zunächst eine Wartetabelle:

Anhand dieser Wartetabelle ist gut zu erkennen, dass mit dem gleichen Faktor multipliziert wird.
Immer wenn auf einer Seiten addiert oder subtrahiert wird und bei der anderen Seite Multiplikation oder Division vorliegt, handelt es sich um exponentielles Wachstum.
Erklärung zur Wertetabelle: In jeder abgelaufenen Woche (+1) erhöht sich die Größe der Algenfläche auf das Doppelte (·2). In 6 Wochen wird die Ausgangsfläche von 10m² mit 2·2·2·2·2·2, also 2^5 multipliziert. Sie beträgt dann $10·2^6m²$. Nach t Wochen ist die Fläche dann $10·2^t$ $m²$ groß.
Wir bezeichnen die Algenflächengröße zum Zeitpunkt t mit A(t)
Die Wachstumsformel lautet daher: $A(t)=10·2^6$

So können wir dann auch die Formel für exponentielles Wachstum herleiten:

In diesem Falle:
$A(t)=Endwert$
$a = Anfangsbestand$ $oder$ $Startwert$
$b=Basis$ $oder$ $Wachstumsfaktor$
$t = Anzahl$ $der$ $Zeitabstände$
☞ In gleichen Zeitabspannen (t) wird eine Größe (a) immer mit einem zugehörigen Faktor (b) multipliziert.

Übungsaufgabe 4

☞ Mehr zu prozentualen Änderungen und zur prozentualen Abnahme.

Übungsaufgabe 5

Oft werden beim exponentiellen Zerfall Aufgaben mit Zinsen bei der Bank gewählt, da es sich hierbei auch um eine antiproportionale Zuordnung handelt.
Hier findet ihr was Zinsrechnung genau ist und hier wie man Zinsen für beliebige Zeitspannen berechnet.
Außerdem findet ihr hier Übungsaufgaben ☞ 4. + 5.
Auf dieser Seite ist auch eine Übungsaufgabe (☞ 1.) zu finden. Allerdings bezieht sich diese auch auf die Halbwertszeit.

Exponentielle Wachstumsprozesse werden als Graphen beschrieben.
Diese Graphen werden durch Exponentialfunktionen angegeben. Doch was ist das überhaupt?

Eine Exponentialfunktion zur Basis b ist eine Funktion mit der Gleichung $y=b^x$, wobei $b > 0$, $b≠1$.

Die Formel für exponentielles Wachstum $f(x)=a·b^x$ fällt somit auch unter die Exponentialfunktionen.

DIE Exponentialfunktion liegt vor, wenn die Basis der Funktion die eulersche Zahl ist. Die allgemeine Form lautet:
$f(t)=a·e^\pm k·t$
mit $k=\ln(1+\frac{p}{100})$ als Wachstumskonstante und
mit $k=\ln(1-\frac{p}{100})$ als Zerfallskonstante.

Die eulersche Zahl ist wie π eine transzendente Zahl. Auf dem Taschenrechner kann man sich diese Zahl anzeigen lassen, indem man die erste Potenz von e angeben lässt.
Sie ist mit e=2,718281828… eine für die Wissenschaft und insbesondere für die Mathematik wichtige Zahl. Sie liegt vielen Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen in der Natur zugrunde. Beispiele dafür sind etwa die Vermehrung einer Bakterienkolonie bzw. der radioaktive Zerfall. Die Zahl e ist „Basis des natürlichen Logarithmus“.

Wie zeichnet man eine Exponentialfunktion?
∗Wartetabelle zu einer Funktion anlegen
∗Für x verschiedene Werte einsetzen und damit y ausrechnen
∗Die Wertepaare in das Koordinatensystem eintragen
∗Die Wertepaare mit einer Kurve verbinden

Hier das Ganze dargestellt an einem Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich täglich.
Es wurden Beobachtungen in einer Wertetabelle festgehalten:

In diesem Falle:
$x=Zeit (in$ $Tagen)$
$y=Bakterienanzahl$
Die Pfeile ergeben sich jeweils aus den Beobachtungsergebnissen und so könnten wir auch die anderen Zahlen errechnen. Dies ist allerdings nicht unbedingt notwendig.

Ermittle die Funktionsgleichung.

Wir suchen $f(x)=a·b^2$
Dies geht mit zwei verschiedenen Varianten.

Variante 1: ☞ „graphisch ermitteln“
Zuerst wollen wir den Startwert (a) ermitteln.
So müssen wir also das Feld, des zugehörigen y-Wertes zu x = 0, aus der Tabelle errechnen/das Feld füllen.
→ $a=1000:1,7=588,23\ldots$

Als nächstes müssen wir den Wachstumsfaktor (b) herausfinden. Diese Arbeit haben wir bereits mit dem Errechnen der Pfeile getan → $b=1,7$
Daraus ergibt sich:
$f(x)=588,23\ldots·1,7^x$

Variante 2: ☞ rechnerisch
Zuerst erstellen wir eine Funktionsgleichung mit den Werten des ersten Tag.
Daraus ergibt sich:
$g(x)=1000·b^x$
Nun setzen wir einen Wert einer beliebigen anderen Zeile beim Endwert (f(x))ein.
Zum Beispiel:
$8352,1=1000·b^4$
Die 4 ergibt sich daraus, dass die Werte vier Perioden auseinander liegen.
Die Funktionsgleichung muss jetzt nur noch ausgerechnet werden:
$8352,1=1000·b^4$
$8352,1:1000=b^4$
$b=1,7$
Nun müssen wir nur noch wie bei Variante 1 den Startwert (a) ermitteln.
$a=1000:1,7=588,23\ldots$
Daraus ergibt sich:
$f(x)=588,23\ldots·1,7^x$

Übungsaufgabe 6

Der exponentielle Zerfall/die exponentielle Abnahme ähnelt sehr der exponentielle Zunahme. Es gibt jedoch einen Wichtigen Unterschied.
Exponentielle Abnahme: In gleichen Zeitspannen c werden die jeweiligen Größenangaben immer mit dem gleichen Faktor d multipliziert. Der Faktor d liegt hierbei zwischen 0 und 1.
Exponentielle Abnahme wird mit der gleichen Formel wie die exponentielle Zunahme beschrieben. Jedoch…

Bei einer Abnahme mit konstanter prozentualer Abnahmerate/Zerfallsrate gilt
$Zerfallsfaktor=(1-\frac{p}{100})$.

Übungsaufgabe 7

Was ist das überhaupt?
Die Generationszeit ist die Zeit in der sich der Startwert verdoppelt hat.
→betrifft exponentielle Zunahme
Beispiel ☟
$$ \begin{array}{lcr} f(t)=200·1,05^t\\ 400=200·1,05^t 2=1,05^t\\ t=\log_{1,05}(2)\\ \end{array}$$

Die Halbwertszeit ist die Zeit $(t \frac{1}{2})$, in der sich der Startwert halbiert hat.
→betrifft exponentielle Abnahme
Beispiel ☟
$$ \begin{array}{lcr} f(t)=200·0,8^t\\ 100=200·0,8^t 0,5=0,8^t\\ t=\log_{0,8}(0,5)\\ \end{array}$$

Übungsaufgabe 8

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion mit der Gleichung $y=x^n$ mit $x∈ℝ$ und $n∈ℕ$.
Potenzielles Wachstum liegt vor, wenn das Anwachsen einer Größe durch einen Funktionsterm der Form $f(x)=a·x^n$ mit $a > 0$ und $n∈ℕ$ beschrieben werden kann.

Eine Logarithmusfunktion zur Basis b ist eine Funktion mit der Gleichung
$y=\log_b(x)$ mit $x > 0$, wobei $b > 0$ und $b≠1$.

Rekursive Beschreibung von Wachstum ist schrittweises oder direktes Berechnen von Wachstum.
Die Funktion wird in diesem Bereich auch Folge genannt (n→a(n)). Die Funktionswerte selbst sind Folgenglieder (a(n)). Diese werden von 0 an durchnummeriert (a(0), a(1), a(2), a(3), …).Diese Nummern nennt man Platznummern. Kann eine Folge unendlich weitergeführt werden schreibt man am Ende oft die n-te Zahl (…, a(n)). n ist auch eine Platznummer.

Beispiel: Folge der geraden Zahlen
0, 2, 4, 6, 8, …
$g(n)=2n$

Man unterscheidet in schrittweises (rekursives) und direktes (explizites) Berechnen:
∗Rekursiv → Berechnet man, indem man aus einem Folgenglied das darauf folgende Folgenglied berechnet, zusätzlich muss das Anfangslied angegeben werden.

∗Explizit → Man berechnet jedes Folgenglied direkt durch Einsetzen der Platznummer in die Formel.

Man kann aber nicht nur Folgen sondern auch Funktionen mithilfe von rekursiven Formeln berechnen: ∗Lineares Wachstum

∗Exponentielles Wachstum

Eine Asymptote des Graphen ist eine Gerade an die sich der Graph einer Funktion anschmiegt.

Waagerechte Asymptote:

Senkrechte Asymptote:

Waagerechte und senkrechte Asymptote:

Der Eixer See soll vergrößert werden, und wird aus diesem Grund ausgebaggert. Der anfangs 30000m² große See wird jede Woche um 200m² vergrößert.

1. Wie groß ist der Eixer See nach 12 Wochen?

2. Wann ist der See 33500m² groß?

3. Wann entsprechen 25% der Gesamtfläche des Sees, der ursprünglichen Seegröße?

Wir haben ein Reagenzglas mit einem Anfangsbestand an Wasser, der uns unbekannt ist.
In dieses Reagenzglas tropft regelmäßig jeden Tag eine gleiche Menge an Wasser.
Jedoch schaffen wir es nur jeden zweiten Tag zu messen.
Unsere Messergebnisse:
Nach 1 Tag - 30,8mm
Nach 3 Tagen - 37,8mm
Nach 5 Tagen - 44,8mm

1. Nach wie vielen Tagen sind mindestens 60mm in dem Reagenzglas?

2. Wie viel mm befinden sich nach 8 Tagen im Reagenzglas?

Gegeben ist ein Graph:

Mit den Messwerten:

Ermittle die Funktionsgleichung.

Der Eixer See hat eine Wasseroberfläche von etwa 40000m².
Da es vor allem im Sommer viele Badegäste gibt wird der See regelmäßig auf die Wasserqualität überprüft.
Es wurde festgestellt, dass sich Algen an der Wasseroberfläche ausbreiten. Anfangs ist die von den Algen bedeckte Fläche 10m² groß. Sie verdoppelt sich jede Woche.

1. Wie groß ist die Algenfläche nach 10 Wochen?

2. Wann wäre der komplette See mit Algen bedeckt?

Bei einem Naturschutzprojekt werden Bäume gepflanzt, um die Artenvielfalt in Deutschland und den natürlichen Lebensraum für Tiere zu bewahren. Außerdem wird eine Gesamt-Waldfläche von 20.000m^2 bisher geschützt. Diese Fläche wächst jährlich um 2,8%.
Wie groß ist die zu gesamte schützende Waldfläche in 3 Jahren?

Gegeben ist ein Graph:

Mit den Messwerten:

Ermittle die Funktionsgleichung.

Ein radioaktives Präparat zerfällt so, dass die Menge jedes Jahr um $\frac{1}{12}$ abnimmt. Es sind anfangs 8g des Präparats vorhanden. Wie viel Schwefel ist nach 5 Jahren noch vorhanden?

Weitere Übungsaufgaben (☞ 2. + 3. + 4.) findet ihr hier.

1. Ermittle, nach wie vielen Jahren sich ein Anfangskapital von 1000€ bei einem Zinssatz von 5% verdoppelt hat.

2. Eine Menschenleiche enthält nur noch 15,587% der natürlichen $C_{14}$-Menge. Bestimme vor wie vielen Jahren der Mensch gelebt hat.
Gegeben: $t \frac{1}{2}=5730a$

3. Ein radioaktives Präparat zerfällt so, dass die vorhandene Substanz nach jeweils 8 Tagen auf ein Fünftel zurückgeht. Zu Beginn der Messung sind 14 mg vorhanden. Welche Funktion liegt dem Zerfallsprozess zugrunde? Wie groß ist die Halbwertszeit?

4. Ein radioaktives Präparat zerfällt so, dass es jeweils in 4 Stunden um 13% abnimmt. Ermittle die Halbwertszeit.