90% von den produzierten Schrauben sind in Ordnung (OK). Von diesen werden 95% verkauft. Von den Schrauben, die nicht in Ordnung sind ($\bar{OK}$) wird 1% verkauft.

→ Wenn man die gegebenen Angaben aus dem Text herausfiltert und daraus ein Baumdiagramm erstellt sieht dieses so aus :

Das bloße Baumdiagramm links lässt sich mit den gegebenen Informationen aus dem Text erstellen und füllen. So kann man die beiden grün markierten Werte aus dem Text entnehmen, weil dort gesagt wird, dass 90% (0,9) der produzierten Schrauben OK sind und die restlichen 10% (0,1) lassen sich dann schnell ausrechnen, weil von 100% ausgegangen werden muss und dann weiß man im Endeffekt auch, dass 10% der Schrauben nicht OK sind.

Die gelb markierten Werte kann man ebenfalls im Text finden bzw. sie durch die gegebenen Informationen leicht ausrechnen. Und zwar sind die 95% (0,95) im Text als die Größe gegeben, die anzeigt, wie viele der OK-Schrauben verkauft werden, wodurch sich dann wiederrum leicht die 5% (0,05) der OK-Schrauben, die nicht verkauft werden, errechnen lässt.

Genauso funktioniert dies auch bei den orange markierten Werten, weil hier die 1% (0,01) der Nicht-OK-Schrauben, die trotzdem verkauft werden, gegeben sind und man dann, genau wie zuvor, die Menge der Nicht-OK-Schrauben, die nicht verkauft werden, ausrechnen kann. Dieser Wert liegt dann bei 99% (0,99).

Nach diesen drei kurzen Schritten hat man schon das Baumdiagramm gefüllt und erstellt.

Nun kommt man zu den Werten, die hier in pink markiert sind. Diese Werte nennen wir „UND-Verknüpfungen“, das bedeutet, dass zwei Bedingung erfüllt sein müssen, also dass in unserem Beispiel eine Schraube z.B. OK UND verkauft ist oder OK UND nicht verkauft ist usw.. Daher der Name „UND-Verknüpfungen“. Diese „Und-Verknüpfungen“ lassen sich leicht berechnen, um am Ende die Werte für die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen , also z.B. OK UND verkauft, herauszufinden. Hierzu muss man einfach entlang eines Pfades multiziplieren, also z.B. bei den OK-Schrauben, die verkauft werden : 0,9*0,95=0,855.

So macht man das bei allen Pfaden und erhält somit alle Und-Verknüpfungen.

Wenn wir mal nur einen Pfad-Wert und die entsprechende Und-Verknüpfung gegeben haben, müssen wir einfach die Und-Verknüpfung durch den einen Pfad-Wert teilen und so bekommt man als Ergebnis den zweiten Pfad-Wert, z.B. 0,855/0,9=0,95.

Die Angaben rechts neben den Und-Verknüpfungen geben nochmal übersichtlich an, um welche Wahrscheinlichkeit es sich handelt,

z.B. → P(OK n v) steht für die Wahrscheinlichkeit, dass die Schraube OK und verkauft ist

Es gibt gewisse mögliche Fragen, die in Klassenarbeiten gerne abgefragt werden und jetzt möchte ich euch nochmal klar machen, wo ihr für diese Fragen nachschauen müsst.

1. Schraube ist nicht OK und verkauft

→ Hierfür gehst du entlang der Pfade $\bar{OK}$ und v und betrachtest dann die Und-Verknüpfung. Diese Und-Verknüpfung ist dann das Ergebnis für diese Frage.

2. Schraube ist verkauft

→ Hierfür musst du beachten, dass nur eine Angabe (verkauft) gegeben ist. Du musst also auf alle verkauften Schrauben gucken. Du kannst diesen Wert nicht direkt im Baumdiagramm ablesen, weil wir nicht mit verkauft und nicht verkauft begonnen haben, sondern mit OK und nicht OK. Wir müssen jetzt also beide Und-Verknüpfungen, wo die Angabe verkauft (v) vorkommt addieren;

hier also : P(OK n v) + P($\bar{OK}$ n v) = 0,855+0,001 = 0,856.

3. Eine verkaufte Schraube ist OK

→ Hierfür musst du beachten, dass kein „und“ vorkommt, sondern eine Bedingung gestellt wird. Hier ist es diese, dass eine Schraube verkauft ist. Die Schraube muss unter der Bedingung OK sein, dass sie verkauft ist. Diesen Wert kannst du nirgends direkt ablesen. Um den Wert zu berechnen gibt es folgende Möglichkeit :

$P_v$ (OK) = P(v n OK) / P (v) = 0,855 / 0,856 = 0,998…

→ Das nennt man dann bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 1

95% der produzierten Bälle sind in Ordnung. Von diesen werden allerdings 12% als nicht in Ordnung eingestuft. Von den Bällen, die nicht in Ordnung sind, werden 3% vom Test als in Ordnung eingestuft. Zeichne zuerst das Baumdiagramm und beantworte anhand des Baumdiagramms dann folgende Fragen!

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball, der in Ordnung ist, auch vom Test als in Ordnung eingestuft wird?

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball vom Test als richtig [falsch] eingestuft wird?

c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein vom Test als falsch befundener Ball wirklich falsch ist?

Aufgabe 2

In einem Eimer sind 100 Kugeln. Davon sind 25 weiß, 37 rot und 38 blau. Bei jedem Zug wird eine Kugel blind gezogen. Diese Kugel wird nicht zurückgelegt! Du guckst dir die Kugel an und ziehst dann noch eine weitere Kugel. Du ziehst also zweimal. Zeichne zuerst das Baumdiagramm und beantworte anhand des Baumdiagramms dann folgende Fragen!

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du zwei rote Kugeln [zwei weiße ; zwei blaue] ziehst?

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du eine blaue und eine rote Kugel ziehst? ( Reihenfolge ist egal)

c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du erst eine blaue Kugel und dann eine weiße Kugel ziehst?

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Zur einfacheren Verdeutlichung der Zusammenhänge nehmen wir die selbe Aufgabe wie bei den Baumdiagrammen :

90% von den produzierten Schrauben sind in Ordnung (OK). Von diesen werden 95% verkauft. Von den Schrauben, die nicht in Ordnung sind ($\bar{OK}$) wird 1% verkauft. → Genau wie bei den Baumdiagramme filtern wir zuerst alle wichtigen Informationen aus dem Text heraus und können dann mit wenigen Rechenschritten die Vierfeldertafel wie folgt vollständig ausfüllen :

Die Vierfeldertafel ist wie folgt aufgebaut :

In der obersten Zeile sind zwei Angaben zu möglichen Ereignissen - im Beispiel OK und $\bar{OK}$ - eingetragen. Im Beispiel haben wir diese zwei Angaben mit dem jeweilig passendem Wert, der in der untersten Zeile in der Spalte der jeweiligen Angabe steht, in grün markiert. Das sind hier die Komplettwahrscheinlichkeiten für OK (0,9) und $\bar{OK}$ (0,1).

Die zwei Komplettwahrscheinlichkeiten für v (0,856) und $\bar{v}$(0,144) sind im Beispiel gelb markiert.

Diese vier Komplettwahrscheinlichkeiten ergeben sich jeweils aus den Und-Verknüpfungen in der entsprechenden Zeile bzw. Spalte.

Die beiden Werte der Und-Verknüpfungen , hier in orange markiert werden jeweils addiert und so hast du als Ergebnis die jeweilige Komplettwahrscheinlichkeit.

Im Umkehrschluss bedeutet das, dass du, wenn du eine Und-Verknüpfung und die Komplettwahrscheinlichkeit hast und die zweite Und-Verknüpfung suchst, einfach die Komplettwahrscheinlichkeit mit der gegebenen Und-Verknüpfung subtrahieren musst, um die zweite Und-Verknüpfung herauszufinden.

Wie du die einzelnen Und-Verknüpfungen herausfinden kannst, sollte bei der Erklärung zu den Baumdiagrammen klar geworden sein. Falls nicht, lies es dir dort einfach nochmal durch!

.

1. Schraube ist nicht OK und verkauft

→ Hierfür musst du innen in der Vierfeldertafel bei den orangenen Werten, also den Und-Verknüpfungen, gucken wo sich die Angaben $\bar{OK}$ und v kreuzen. Der Wert, der dort steht ist dann das Ergebnis für diese Aufgabe.

2. Schraube ist verkauft

→ Hierfür musst du bei der entsprechenden Komplettwahrscheinlichkeit gucken und dort kannst du dann sofort den Wert ablesen.

Aufgabe 1

85% der Automotoren sind verwendbar. Von diesen werden 93% von einem Qualitätstest als verwendbar bewertet. Von den nicht verwendbaren Motoren werden 3% vom Test als verwendbar bewertet. Löse mithilfe einer selbsterstellten Vierfeldertafel folgende Aufgaben!

a) 1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor nicht verwendbar ist, aber der Test sagt, dass er verwendbar ist?

2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor nicht verwendbar ist und der Test dieses bestätigt?

3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor verwendbar ist, aber der Test sagt, dass er nicht verwendbar ist?

4. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor verwendbar ist und der Test dieses bestätigt?

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test sagt, dass ein Motor verwendbar ist [nicht verwendbar ist] ?

Aufgabe 1