Der Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Der Name kommt daher, dass man mit Hilfe des Binomialkoeffizienten die Koeffizienten einer Binomialerweiterung einfach bestimmen kann. Der Binomialkoeffizient lässt sich auch durch das Pascalsche Dreieck errechnen. Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ gibt für natürliche Zahlen n und k an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Objekte aus n Objekten auszuwählen. Damit gibt der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ an, wie viele k-elementigen Teilmengen aus einer n-elementigen Menge gebildet werden können ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen.

Zur Berechnung des Binomialkoeffizienten benötigt man die Fähigkeit mit Fakultäten zu rechnen. Auf der linken Seite findet man die Kurzschreibweise für den Binomialkoeffizient, gesprochen „n über k“. Auf der rechten Seite sieht man den Bruch, wie er berechnet wird. Im Taschenrechner kann man den Binomialkoeffizienten mit der Funktion nCr errechnen. $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$$ Beispiel zur Verdeutlichung: $\binom{10}{6}=\frac{10!}{6!\cdot(10-6)!}=\frac{10!}{6!\cdot4!}=210$

Wie schon gesagt kann man mit dem Binomialkoeffizienten errechnen wie viele Möglichkeiten es gibt k-Objekte aus n-Objekten auzuwählen, ohne auf die Reihenfolge zuachten. Aber woher leitet sich diese Formel ab? Man möchte nun aus n Objekten, welche z.B. in einer Urne sind, ein Objekt heraus ziehen. Bevor man das erste mal zieht hat man für den ersten „Platz“ n-Möglichkeiten. Nach der ersten Ziehung hat man für den zweiten „Platz“ nur noch die Möglichkeiten (n-1). Für den dritten Platz hat man wieder eine geringere Anzahl an Möglichkeiten, nämlich (n-2) und so weiter. Wenn man nun weiter zieht bis nur noch ein n-Objekt übrig ist, ist die Anzahl der Möglichkeiten (n-k+1). Diese Schritte stehen über dem Bruchstrich. Unter dem Bruchstrich steht der „Platz“ für den gezogen wird, also zuerst Platz 1, dann 2,usw. bis k, da man ja nicht genau weiß bis zu welchem „Paltz“ man ziehen kann. Zusammengefasst kommt man dann auf diese Formel:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 aus 49 Kugeln auszuwählen? $$\binom{n}{k}$$ $$=\binom{49}{6}$$ $$=\frac{49!}{6!\cdot(49-6)!}$$ $$=\frac{49!}{6!\cdot43!}$$ $$=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\ldots\cdot1}{(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)\cdot(43\cdot42\cdot41\ldots\cdot1)}$$ $$=13.983.816$$ → Kombinationsmöglichkeiten um 6 aus 49 auszuwählen.

Diese lange Formel könnte man auf Folgende kürzen $\frac{49\cdot\ldots\cdot44}{1\cdot\ldots\cdot6}$ , da es für das erste Feld 49 Möglichkeiten gibt, für das zweite Feld 48 und so weiter. Für das sechste Feld gibt es noch 44 Möglichkeiten, deshalb ${49}\cdot{48}\cdot{47}\cdot{47}\cdot{46}\cdot{45}\cdot{44}$. Dabei werden aber die Plätze beachtet, d.h. die Auswahl der Zahlen 1,2,3,4,5,6 ist eine andere als 2,1,3,4,5,6. Deshalb gibt es 6 unterschiedliche Anordnungen der gleichen Zahlen.

Das Pascalsche Dreieck funktioniert so, dass die Summe der beiden Zahl links und rechts die nächste Zahl unterhalb bildet. Würde man die Variablen n und k als Koordinaten in einem Dreieck verstehen, so hätte man das Pascalsche Dreieck. n gäbe dabei die Reihe von oben gesehen, beginnend mit 1 an, während k die Zahl von links nach rechts gesehen ist. n wäre also quasi die y-Koordinate und k die x-Koordinate. Die Zahl 2 (zweite Zahl in der dritten Reihe) könnte durch den Binomialkoeffizienten $\binom{3}{2}=2$ berechnet werden.

1) Berechne: a) $$\binom{14}{3}$$ b) $$\binom{23}{19}$$ c) $$\binom{19}{16}$$ 2) Thomas hat 12 Socken in einer Schublade, 6 rote und 6 schwarze. Er nimmt nun zufällig 2 aus der Schublade.

a) Bestimme die Anzahl aller Möglichkeiten.

b) Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten für 2 gleichfarbige Socken.

https://www.youtube.com/watch?v=UkOx8qdLAak&index=7&list=PLjaA00udJtOrtTxnZaAORZBOUM5Tbyhwo&t=13s https://www.youtube.com/watch?v=QAaeSC3hItw&list=PLjaA00udJtOrtTxnZaAORZBOUM5Tbyhwo&t=46s&index=8

1a) $\binom{14}{3}$ $$=\frac{14!}{3!\cdot({14}-{3})!}$$ $$=\frac{14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\ldots3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot11\cdot10\ldots3\cdot2\cdot1}$$ $$=\frac{14\cdot13\cdot12}{3\cdot2\cdot1}$$ $$=\frac{2184}{6}$$ $$=364$$ b) $\binom{23}{19}$ $$=\frac{23!}{19!\cdot({23}-{19})!}$$ $$=\frac{23\cdot22\cdot21\ldots2\cdot1}{19\cdot18\ldots3\cdot2\cdot1\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$$ $$=\frac{23\cdot22\cdot21\cdot20}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$$ $$=\frac{212520}{24}$$ $$=8855$$ c) $\binom{19}{16}$ $$=\frac{19!}{16!\cdot({19-16})!}$$ $$=\frac{19\cdot18\cdot17\ldots2\cdot1}{16\cdot15\ldots3\cdot2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1}$$ $$=\frac{19\cdot18\cdot17}{3\cdot2\cdot1}$$ $$=\frac{5814}{6}$$ $$=969$$ 2a) $\binom{12}{2}$ $$=\frac{12!}{2!\cdot(12-2)!}$$ $$=\frac{12\cdot11\cdot10\ldots2\cdot1}{2\cdot1\cdot10\cdot9\ldots3\cdot2\cdot1}$$ $$=\frac{12\cdot11}{2}$$ $$=66$$ b) ${2\cdot}\binom{6}{2}$ $$={2\cdot}\frac{6!}{2!\cdot(6-2)!}$$ $$={2\cdot}\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$$ $$=[{2\cdot}\frac{6\cdot5}{2}$$ $$=30$$