Verdammt! Schon wieder Brüche und keine Ahnung, wie man Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, umrechnet, potenziert, wurzelzieht, kürzt und erweitert? Dann kommen hier ein paar Erläuterungen:

Du hast zum Beispiel folgende Aufgabe:

$x=\frac{1}{2}+\frac{5}{3}$

Um das auszurechnen musst du die Brüche auf den gleichen Nenner bringen.

Am besten geht das, wenn man die beiden Nenner auf das kleinste gemeinsame Vielfache bringt. Bei 2 und 3 wäre das $2\cdot3=6$.

Bei dem Bruch $\frac{1}{2}$ müsste man jetzt sowohl die 2 mit 3 multiplizieren, als auch die 1. Aus $\frac{1}{2}$ wird $\frac{3}{6}$.

→ das nennt man auch erweitern des Bruchs.

Genau das gleich macht man jetzt mit dem Bruch $\frac{5}{3}$. Nur, dass man hier die 3 und die 5 mit 2 multipliziert. Aus $\frac{5}{3}$ wird $\frac{10}{6}$. Addiert wird jetzt nur die Zähler, der Nenner bleibt gleich.

$$ \begin{array}{lcr} x&=&\frac{3}{6}+\frac{10}{6}\\ x&=&\frac{13}{6}\\ \end{array}$$

Wenn man als Aufgabe $x=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$ hat, muss man nur den Bruch $\frac{1}{2}$ auf denn Nenner 4 bringen, da der ja schon im 2. Bruch vorhanden ist.

→ also $2\cdot2=4$ und $1\cdot2=2$

Dann hat man am Ende:

$$ \begin{array}{lcr} x&=&\frac{2}{4}+\frac{3}{4}\\ x&=&\frac{7}{4}\\ \end{array}$$

Wenn die Nenner schon gleich sind, benötigt man das Erweitern nicht und kann gleich normal addieren.

Trotzdem bleibt:

Die Aufgabe lautet zum Beispiel:

$x=\frac{9}{3}-\frac{3}{2}$

Du verfährst hier genauso, wie bei der Addition und bringst die Brüche auf den gleichen Nenner (wieder mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2 und 3). Also wieder $2\cdot3$. Das ist 6. Die 9 und die 3 werden jeweils mit 2 multipliziert. Aus $\frac{9}{3}$ wird $\frac{18}{6}$.

Die 3 und die 2 des 2. Bruchs werden jeweils mit 3 multipliziert. Aus $\frac{3}{2}$ wird $\frac{9}{6}$.

Nun wie gewohnt subtrahieren (Zähler minus Zähler und der Nenner bleibt gleich).

$$ \begin{array}{lcr} x&=&\frac{18}{6}-\frac{9}{6}\\ x&=&\frac{9}{6}\\ \end{array}$$

$\frac{9}{6}$ kann man nun kürzen.

Aber was war kürzen nun noch gleich?

Beim Kürzen werden Zähler als auch Nenner durch einen gemeinsamen Divisor (eine Zahl, die in beiden ,,drin steckt´´) geteilt. 9 und 6 kann man beide durch 3 teilen.

Aus $\frac{9}{6}$ wird $\frac{3}{2}$.

Am Ende müsste für die komplette Aufgabe stehen: $$ \begin{array}{lcr} x&=&\frac{9}{3}-\frac{3}{2}\\ x&=&\frac{18}{6}-\frac{9}{6}\\ x&=&\frac{9}{6}\\ x&=&\frac{3}{2}\\ \end{array}$$

Wenn die Aufgabe folgendermaßen aussieht:

$x=\frac{3}{2}-\frac{7}{8}$

,dann muss man wieder nur die 2 auf den nenner 8 bringen und dann ganz normal subtrahieren.

→ $2\cdot4=8$

Also werden die 3 und die 2 mit 4 multipliziert.

Aus $x=\frac{3}{2}$ wird $x=\frac{12}{8}$

Am Ende sieht das so aus: $$ \begin{array}{lcr} x&=&\frac{3}{2}-\frac{7}{8}\\ x&=&\frac{12}{8}-\frac{7}{8}\\ x&=&\frac{5}{8}\\ \end{array}$$

Aber auch hier gilt immer:

Das Multiplizieren von Brüchen ist die einfachste Rechenart um mit Brüchen umzugehen.

Es gilt:

Ein Beispiel: $x=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}$

Jetzt werden einfach 2 und 3 multpliziert und 5 und 4.

Das sieht dann so aus: $$ \begin{array}{lcr} x&=&\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}\\ x&=&\frac{6}{20}\\ \end{array}$$

$\frac{6}{20}$ kann man nun wieder kürzen. Sowohl 6 als auch 20 kann man durch 2 teilen.

$$ \begin{array}{lcr} x&=&\frac{6}{20}\\ x&=&\frac{3}{10}\\ \end{array}$$

Beim dividieren gilt folgende Regel:

Bei vielen Leuten erzeugt das ein Fragezeichen im Kopf . Doch es beudeutet nichts anderes, als das der 2. Bruch bei der Division einfach umgedreht wird. Und dann werden die Brüche multipliziert. (Multiplikation v. Brüchen s.o..)

Zum Beispiel:

$x=\frac{3}{2}:\frac{5}{3}$

In diesem Fall aus $\frac{5}{3}$ → $\frac{3}{5}$

Die Aufgabe ist also: $$ \begin{array}{lcr} x&=&\frac{3}{2}:\frac{5}{3}\\ x&=&\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{5}\\ x&=&\frac{9}{10}\\ \end{array}$$

Beim Potenzieren von Brüchen wird der Bruch so häufig mit sich selbst multipliziert, wie es der Exponent (die hoch gestellte Zahl) angibt. Es werden sowohl Zähler, als auch Nenner multipliziert.

Bedeutet: $$ \begin{array}{lcr} \left(\frac{2}{3}\right)^3\\ =\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\\ =\frac{8}{27}\\ \end{array}$$

Wenn um den Bruch keine Klammern stehen, wird nur der Zähler potenziert.

Beispiel:

$$ \begin{array}{lcr} \frac{2}{5}^2\\ =\frac{4}{5}\\ \end{array}$$

Beim Wurzelziehen wird ein Bruch gesucht, der mit sich selbst multipliziert den Bruch in dem Wurzelzeichen ergibt.

Beispiel:

$\sqrt{\frac{1}{4}}=x$

Dann wird einmal eine Zahl gesucht, die mit sich selbst multipliziert 1 (Zähler) ergibt und eine, die mit soich selbst multipliziert 4 (Nenner) ergibt.

Diese Zahlen wären dann 1 und 2.

Also gilt:

$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

Bei weiteren Fragen zum Wurzel ziehen $\sqrt{}$ geht auf die verlinkte Seite.

Beim Umrechnen muss man wissen, dass, wenn Zähler und Nenner den gleichen Wert haben, die dazu gehörige Zahl immer 1 ist.

Um nun die passende natürliche Zahl zu erhalten, muss man 1 (also das Ganze) erst durch den Nenner teilen und dann das Ergebnis mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren.

Zum Beispiel:

$x=\frac{7}{5}$

Hier wird die 1 erst durch die 5 geteilt. Da kommt 0,2 raus. Diese 0,2 wird dann mit 7 multipliziert. das ergibt dann 1,4.

Bedeutet:

$\frac{7}{5}=1,4$

Addition:

$\frac{3}{9}+\frac{5}{3}$

$\frac{1}{6}+\frac{9}{18}$

$\frac{4}{8}+\frac{7}{1}$

Subtraktion:

$\frac{9}{4}-\frac{3}{2}$

$\frac{15}{4}-\frac{5}{2}$

$\frac{12}{9}-\frac{6}{18}$

Multiplikation:

$\frac{7}{8}\cdot\frac{1}{2}$

$\frac{3}{5}\cdot\frac{9}{6}$

$\frac{7}{3}\cdot\frac{4}{7}$

Division:

$\frac{9}{16}:\frac{1}{3}$

$\frac{7}{20}:\frac{5}{2}$

$\frac{15}{3}:\frac{7}{1}$

Potenzieren:

$(\frac{1}{6})^2$

$(\frac{3}{4})^3$

$\frac{2}{3}^4$

Wurzelziehen:

$\sqrt{\frac{9}{16}}$

$\sqrt{\frac{4}{25}}$

$\sqrt{\frac{64}{4}}$

Umrechnen:

$\frac{2}{5}$

$\frac{5}{8}$

$\frac{9}{4}$

Addition:

Subtraktion:

Multiplikation:

Division:

Potenzieren:

Wurzelziehen:

Umrechnen: