Unter Differentialrechnung versteht man auch das Rechnen mit Ableitungen.

Differentialrechnung benötigt man, um an einem bestimmten Punkt an einer nichtlinearen Funktion die Steigung zu berechnen. Ein Beispiel für eine nichtlineare Funktion ist eine Parabel. Auf einer Parabel beziehungsweise auf jeder nichtlinearen Funktion hat jeder Punkt eine andere Steigung.

Um die Steigung an einem Punkt A zu berechnen muss man sich zusätzlich zum Punkt a einen weiteren Punkt suchen, der so nah an a liegt, dass die Krümmung nicht mehr zu sehen ist, da sonst das Ergebnis zu ungenau wäre. Den Abstand zwischen Punkt a und dem zweiten Punkt beträgt Dx und deshalb heißt der zweite Punkt A+Dx.

Wenn man sich a+dx gesucht hat, rechnet man die Steigung m aus.

Wie funktioniert das am Beispiel der Normalparabel $f(x)=x^2$ ?

Man sucht sich den Punkt A und den Punkt A+DX (A+DX ist im Schaubild als B bezeichnet)

$m=\frac{dy}{dx}$ Aber was ist dy? $dy= (a+dx )^2-a^2$

Wenn man dann dy ausgerechnet hat, setzt man das Ergebnis in $m=\frac{dy}{dx}$ ein, also

$m=\frac{(a+dx)^2- a^2}{dx} =\frac{a^2 +2a×dx+dx^2 - a^2}{dx}$

+a² und -a² heben sich auf, genau wie sich die beiden dx wegkürzen, das bedeutet es bleibt $m=2a+dx$.

Da wir den Punt a+dx so nah am Punkt a gewählt haben, dass er beinahe 0 beträgt, können wir am Ende sagen, dass dx=0 ist. Früher geht das nicht, da man nicht durch 0 teilen kann. Also bleibt am Ende: m=2a

Bei nichtlinearen Funktionen, die nicht die Normalparabel sind, zum Beispiel $f(x)=x^4$ , funktioniert das genauso.

In der Differentialrechnung wird aber nicht $m=2a$ geschrieben, sondern $f'(x)=2a$. $f'(x)$ heißt 1. Ableitung der Funktion $f$. Sie gibt die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle x beziehungsweise die Steigung der Tangente an, die an die Funktion $f$ an der Stelle x anliegt.

Es gibt außerdem noch höhere Ableitungen. Das bedeutet, dass unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit der 1. Ableitung weitere Ableitung gemacht werden können, also eine 2. oder noch höhere Ableitungen gebildet werden können, aber um diese lösen zu können, braucht man einige Regeln.

1. Potenzregel:

Diese Regel kommt immer zum Einsatz, wenn eine Potenz innerhalb der Funktion auftaucht, wie bei

$f(x)=x^n$. Die dazu gehörige Ableitung lautet $f' (x)=n×x^(n-1)$.

Beispiel:

$f(x)=x^3$

$f' (x)=3x^2$

2.Summenregel:

Diese Regel kommt zum Einsatz, wenn innerhalb einer Funktion mehrere Bestandteile addiert werden, wie bei $f(x)=g(x)+h(x)$. Die dazu gehörige Formel lautet $f'(x)=g' (x)+h' (x)$.

Beispiel:

$f(x)=5x^2+10x^3$

$f'(x)=5×2x+10×3x^2$

3. Faktorregel:

Diese Regel kommt zum Einsatz, wenn innerhalb einer Funktion zwei Bestandteile multipliziert werden, wie bei $f(x)=c×g(x)$. Die dazu gehörige Ableitung lautet $f'(x)=c×g'(x)$.

Beispiel:

$f(x)=4x^9$

$f'(x)=4×9x^8$

4. Produktregel:

Diese Regel kommt zum Einsatz, wenn innerhalb einer Funktion zwei andere Funktionen miteinander multipliziert werden, wie bei

$f(x)=l(x)×m(x)$. Die dazu gehörige Ableitung lautet $f'(x)=l'×m+l×m'$

Beispiel:

$f(x)=(5x^3-2x)×(2x)$

$f'(x)=(15x^2-2)×(2x)+(5x^3-2x)×(2)$

5. Quotientenregel:

Diese Regel kommt zum Einsatz, wenn innerhalb einer Funktion zwei andere geteilt werden, wie bei

$f(x)=\frac{n(x)}{k(x)}$ unter der Bedingung k(x)≠0, dann lautet die dazugehörige Ableitung $f'(x)=\frac{n'(x)×k(x)-n(x)×k'(x)}{k(x)^2}$

Beispiel:

$f(x)=\frac{(2x^2+3)}{(8x+1)}$

$f'(x)=\frac{(4x)×(8x-1)-(2x^2+3)×(8)}{(8x+1)}^2$

6. Kettenregel

Diese Regel kommt zum einsatz, wenn zwei Funktionen minteinander in Verbindung gebracht werden, wie bei

$f(x)=e(r(x))$. Die dazugehörige Ableitung lautet $f'(x)=e'(r(x))×r'(x)$

Man sagt, dass e(x) die äußere Funktion und r(x) die innere Funktion ist. Um so eine Funktion f lösen zu können, muss man zunächst die Ableitungen der beiden Funktionen e(x) und r(x) berechnen und dann in die Formel einsetzten.

Beispiel:

$f(x)=(2x+4)^2$

$f'(x)=2×(2x+4)×2$

$f'(x)=4×(2x+4)$

$f'(x)=8x+16$

Wenn man diese Regeln kennt und anwenden kann, wird es einem möglich, auch höhere Ableitungen bilden zu können.

Dazu leitet man $f'(x)$ erneut , unter der Anwendung Ableitungsregeln, ab und erhält $f''(x)$, also die zweite Ableitung von $f(x)$. Benötigt man noch höhere Ableitungen $[f''' (x)/ f'''' (x)]$, so leitet man erneut ab. In der Anwendung sieht das dann folgendermaßen aus:

1. Beispiel (Anwendung Faktorregel und Potenzregel):

$f(x)=3x^3$

$f'(x)=9x^2$

$f''(x)=18x$

2.Beispiel (Anwendung Summenregel):

$f(x)=5x+6x^3$

$f'(x)=5+18x^2$

$f''(x)=36x$

Das ist das Grundprinzip, was hinter der Differentialrechnung steckt.

Hoffentlich könnt ihr das ganze jetzt gut und problemlos auf die Differentialrechnung anwenden.

1). Berechne f'(x) für

a) $f(x)=x^4$ ¹⁾

b) $f(x)=3×x^2$ ²⁾

c) $f(x)=5x$ ³⁾

d) $f(x)=3x^2+2x^3+4x^3$ ⁴⁾

e)$f(x)=\frac{x}{(x^2-4)}$ ⁵⁾

Mehr Informationen findet ihr unter anderem bei http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung und

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/differentialrechnung-differenzialrechnung.html