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Einheitskreis und trigonometrische Funktionen

Die sogenannten Funktionen „Sinus, Kosinus, Tangens“ werden euch in der Mathematik noch sehr häufig begegnen.

Sie können benutzt werden, um mit gegebenen Größen eines rechtwinkligen Dreiecks und z.B. dem „Sinussatz“ andere, gesuchte Größen desselben Dreiecks herauszufinden. Dazu findet ihr auch noch einmal mehr auf der Seite „Trigonometrie: Sinus, Kosinus, Tangens in Dreiecken; Sinus- und Kosinussatz“

Auf dieser Seite geht es aber darum, was der „Einheitskreis“ ist und was dieser mit den drei Funktionen zu tun hat. Hier lernt ihr also wie man bei beliebigen Winkeln Werte für „Sinus, Kosinus, Tangens“ bestimmen kann.

Sinus, Kosinus und Tangens. Was ist das überhaupt? Um das verstehen zu können muss man sich darüber im Klaren sein, was die Begriffe „Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete“ bedeuten und was sie miteinander zu tun haben.

Definition

  • Hypotenuse („H“) → die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks
  • Gegenkathete („GK“) → die Seite, die gegenüber des betroffenen Winkels (hier alpha) liegt
  • Ankathete („AK“) → die Seite, die am betroffenen Winkel (hier alpha) anliegt
Der Sinus eines Winkels definiert das Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels definiert das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse. Der Tangens eines Winkels definiert das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete.
  • Sinus = GK : H
  • Kosinus = AK : H ⇒ NUR bei rechtwinkligen Dreiecken
  • Tangens = GK : AK

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Auf dieser Seite könnt ihr einmal selbst aktiv werden. Ihr seht ein Dreieck, dessen Hypotenuse 1cm lang ist. Sowohl den Punkt D als auch den Punkt E könnt ihr selbst verschieben, allerdings bleibt Punkt D immer auf dem Kreisbogen, sodass der Radius immer bei 1 bleibt.

Die grüne Gerade (h) zeigt also den Kosinus von dem Winkel alpha und die lilane Gerade (g) zeigt den Sinus von Alpha. Beim Verschieben der Punkte D und E ändert sich also sowohl der Winkel als auch die Sinus- und Kosinuswerte.