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Einheitskreis und trigonometrische Funktionen

Einleitung

Die sogenannten Funktionen „Sinus, Kosinus und Tangens“ werden euch in der Mathematik noch sehr häufig begegnen.

Sie können benutzt werden, um mit gegebenen Größen eines rechtwinkligen Dreiecks und z.B. dem „Sinussatz“ andere, gesuchte Größen desselben Dreiecks herauszufinden. Dazu findet ihr auch noch einmal mehr auf der folgenden Seite [https://www.ratsgymnasium-pe.de/ratsewiki/doku.php?id=faecher:mathematik:mathebuch:trigonometrie_sinus_kosinus_tangens_in_dreiecken_sinus-_und_kosinussatz]

Auf dieser Seite geht es aber darum, was der „Einheitskreis“ ist und was dieser mit den drei Funktionen zu tun hat. Hier lernt ihr also wie man bei beliebigen Winkeln Werte für „Sinus, Kosinus, Tangens“ bestimmen kann.

Sinus, Kosinus und Tangens. Was ist das überhaupt? Um das verstehen zu können muss man sich darüber im Klaren sein, was die Begriffe „Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete“ bedeuten und miteinander zu tun haben.

Definition

  • Hypotenuse („H“) → die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks
  • Gegenkathete („GK“) → die Seite, die gegenüber des betroffenen Winkels (hier alpha) liegt
  • Ankathete („AK“) → die Seite, die am betroffenen Winkel (hier alpha) anliegt
Der Sinus eines Winkels definiert das Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels definiert das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse. Der Tangens eines Winkels definiert das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete.
  • Sinus = GK : H
  • Kosinus = AK : H ⇒ NUR bei rechtwinkligen Dreiecken
  • Tangens = GK : AK

Hinführung zum Einheitskreis

einheitskreis-mathebuch_1.ggb

Auf dieser Seite könnt ihr einmal selbst aktiv werden. Ihr seht ein Dreieck, das dem auf dem oberen Bild ähnelt und dessen Hypotenuse 1cm lang ist. Sowohl den Punkt D als auch den Punkt E könnt ihr selbst verschieben, allerdings bleibt Punkt D immer auf dem Kreisbogen, sodass der Radius immer bei 1 bleibt.

Die grüne Gerade (h) zeigt also den Kosinus von dem Winkel alpha und die lilane Gerade (g) zeigt den Sinus von Alpha. Beim Verschieben der Punkte D und E ändert sich also sowohl der Winkel als auch die Sinus- und Kosinuswerte.

Allerdings ist sicherlich klar, dass man so nur die Sinus- und Kosinuswerte der Winkel von 0° bis 90° herausfinden kann.

Deshalb der Einheitskreis!

Durch diesen Einheitskreis ist es möglich, unter der Voraussetzung, dass die Hypotenuse auf 1 gesetzt ist, die Sinus- und Kosinuswerte auch für Winkel bis zu 360° oder mehr zu bestimmen.

Der Einheitskreis

Auf diesem Bild seht ihr ihn nochmal.

  • die Hypotenuse des Dreiecks, also der Radius des Kreises ist auf 1 gesetzt
  • → somit kann sowohl Höhe (Sinus) als auch Breite (Kosinus) nicht über 1 liegen
  • die Sinus- und Kosinuswerte verlaufen auch im negativen Bereich und können nun für beliebig große Winkel bestimmt werden (auch Winkel über 360°)
Die Sinuswerte sind nicht dieselben wie die Kosinuswerte!
Der Kosinus eines Winkels wird auf der x-Achse (→Breite) gemessen und der Sinus eines Winkels auf der y-Achse (→Höhe) gemessen

einheitskreis-mathebuch.ggb

Hier könnt ihr erneut aktiv werden!

Ihr werdet recht schnell merken, dass sich durch die Verschiebung des Punktes C sowohl der Sinuswert als auch der Kosinuswert verändert.

Achtet beim Verschieben darauf, dass ihr den Punkt C immer nur auf der einen Hälfte ändert. Verschiebt ihr Punkt C nach oben oder in den negativen Bereich funktioniert alles, verschiebt ihr ihn allerdings auf die linke Seite des Einheitskreises müsst ihr erst Punkt D nach links verschieben.

Sinuskreuz und Kosinuskreuz

Auf diesem Bild wird es nochmal deutlich!

  • Der Sinuswert entspricht der Höhe
  • Der Kosinuswert entspricht der Breite

Wann ist ein Sinuswert oder ein Kosinuswert positiv und wann negativ?

⇒Diese Kreuze sollte man sich nun einfach einprägen!

⇒Diese Tabelle wird auch noch einmal helfen

Tangens im Einheitskreis

Wie wir bei „Einleitung → Definition“ schon herausgefunden haben errechnet man den Tangens, indem man die Gegenkathete durch die Ankathete teilt.

Das lässt sich aber nicht nur errechnen, sondern auch durch den Einheitskreis darstellen.

Wie ihr sehen könnt muss die Hypotenuse dafür einfach weitergeführt werden und das solange, bis sie sich mit der Weiterführung des Punktes 1 auf der x-Achse schneidet. Diesen Schnittpunkt misst man dann auf der y-Achse ab und man erhält den Wert des Tanges!

Aufgaben

  1. Was ist der Sinus von 90°?
  2. Was ist der Kosinus von 180°?
  3. Was ist der Sinus von 360°?

Lösungen

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