Als allererstes: Was sind Gleichungen und Variablen?

Gleichungen sind leicht erklärt das „Vergleichen“ von zwei Termen (ein Term ist ein Ausdruck mit Zahlen, Rechenzeichen und co. (z.B. 3x-7 ist ein Term)). Eine Gleichung setzt zwei Terme nebeneinander. Dementsprechend ist eine Gleichung z.B. 5x-7 = 2x+2 Wenn auf beiden Seiten die gleichen Werte bzw. Terme mit gleichem Ergebnis stehen, ist die Gleichung richtig.

Eine Variable ist ein „Platzhalter“, anders gesagt ein unbekannter oder veränderlicher Zahlenwert. Eigentlich kennt man sie schon aus der Grundschule, nur hatte man da statt einer Variablen „a“ oder „x“ ein blaues Kästchen, einen Smiley oder mal ein Herz, wie bei 2 + = 3. Nun werden diese Zahlenwerte von Buchstaben ersetzt, sodass man nicht mehr 2 + ? = 3 sondern 2 + b = 3 ersetzen muss (übrigens ist das auch eine Gleichung).

Der Sinn von Gleichungen besteht u.a. darin, mit ihrer Hilfe den Zahlenwert einer Variable zu finden. Unser Ziel ist erstmal, genau die Zahl herauszufinden, die man einsetzen muss, damit die Gleichung stimmt. Diese Zahl ist dann die Lösungsmenge L, vereinfacht „x (oder eine andere Variable) = Zahl“ .

Ein einfaches Beispiel:

x = 8-2

x = 6

Nun, manchmal stehen die Zahlen jedoch nicht so vorteilhaft wie hier, in dem Fall müssen wir die Gleichung umstellen, sodass auf einer Seite nur noch die Variable steht, zum Beispiel bei so einer Gleichung, wo die Variable mit einer anderen Art von Faktor auf einer Seite steht:

x+2 = 8

Auch wenn du vielleicht direkt die Lösung siehst, wird es bei schwierigerern Gleichungen sinnvoller oder sogar notwendig, durch die Durchführung sogenannter Äquivalenzumformungen, einfacher gesagt durch die Umstellung einer Gleichung, sie nach „x“ oder einer anderen Variablen aufzulösen. Das bedeutet, dass das Aussehen der Gleichung verändert wird, aber dennoch auf der linken Seite der selbe Wert steht wie auf der rechten. In dem Fall, um nach „x“ aufzulösen, muss man die 2 von der linken Seite „wegschaffen“. Wichtig dabei ist, dass Rechenoperationen auf beiden Seiten durchgeführt werden müssen! Also um die 2 wegzuschaffen, muss man sowohl links als auch rechts „-2“ rechnen. Dies sagt die Additions- und Subtraktionsregel:

x+2 = 8 │-2

x = 8-2

x = 6

Hier ein weiteres Beispiel:

x-17 = 9 │+17

x = 26

1, Löse folgende Gleichungen, indem du sie nach der Variablen auflöst und falls nötig, die Gleichung vereinfachst! Führe auch eine Probe durch, indem du für die Variable den dazugehörigen Wert einsetzt. a, x+7 = 11 b, a-5 = 2 c, 4 = z+2 d, 4-3+x = 5-2

Genau wie bei Addieren und Subtrahieren, muss man auch bei Multiplizieren oder Dividieren die jeweilige Umkehrung der Rechenoperation verwenden, um eine Zahl wegzukriegen. Das heißt, um eine „:7“ wegzukriegen, muss „•7“ gerechnet werden, oder umgekehrt. Auch das muss auf beiden Seiten durchgeführt werden. Multiplikations- und Divisionsregel:

Beachte, dass du bei Dividieren nur durch den Teiler teilen kannst, im Gegensatz dazu kann man bei Multiplizieren mit beider der Zahlen multiplizieren.

Beispiel:

5•x = 15 │:5

x = 3

x:4 = 2 │•4 8:x = 2 │•x │:2

x = 8 8:2 = x

                                                   
                                                     4    = x 
                                                    

2, Löse die Gleichungen! a, 40+20x = 20 b, 6x-9 = 9 c, 3+5•2+5x = 10 d, 2(x-1)-3x = 4-x

So leicht ist es, Gleichungen zu lösen. Versuch erstmal immer, die Gleichung zu vereinfachen durch Klammern auflösen, Zusammenfassen o.ä. Und anschließend „störende“ Faktoren auf die andere Seite zu bringen. Danach kannst du mit der Berechnung der Terme beginnen.

4(y-5)-2y+8 = 5(-3y+1) │Vereinfachen

4y-20-2y+8 = -15y+5 │gleiche Faktoren auf gleiche Seite bringen

4y-2y+15y = 5+20-8 │Zusammenfassen

17y = 17 │:17

y = 1

Um das Ergenis zu überprüfen, setzt man in der Anfangsgleichung für die Variable den herausgefundenen Wert ein: 4(1-5)-2•1+8 = 5(-3•1+1)

…..

-16-2+8 = -10

-10 = -10

In einigen Fällen wird es vorkommen, dass die Gleichung falsch ist. Dass bedeutet, dass es keinen Wert für eine Variable gibt und die Lösungsmenge eine „leere Menge“ ist (L = { }).

Lösungen zu Aufgabe 1:

a, z+7 = 11 |-7

  z = 4

b, c-5 = 2 |+5

  c = 7

c, 4 = x+2 |-2

  2 = x

d, 4-3+a = 5-2

  1+a = 3      |-1
  a = 2    
  
  

Lösungen zu Aufgabe 2:

a, L= { }

b, 6x-9 = 9 |+9

  6x = 18   |:6
  x = 3

c, 3+5•2+5x = 10

  3+10+5x = 10
  13+5x = 10    |-13
  5x = -3     |:5
  x = -0,6
  

d, 2(x-1)-3x = 4-x

  2x-2-3x = 4-x   
  -x-2 = 4-x   |+x
  -2 = 4