Dies ist eine alte Version des Dokuments!

---

Gliederung

1) zeichnerisch

• Kongruenzsätze

2) mathematisch

• Winkelfunktion sin/ cos/ tan
• Sinus- und Kosinussatz
• Satz des Pythagoras
• Katheten- und Höhensatz des Euklids

1) zeichnerisch

Kongruenzsätze: Kongruente Dreiecke und Kongruenzsätze

Legende:

s = Seite; S= Seite¹⁾; w = Winkel

sss

konstruierbar wenn:

• Länge der 3 Seiten gegeben sind

• Für jedes Dreieck gilt: Die Länge einer Seite muss immer kleiner sein, als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten.

Ungleichungen:

• a < b + c

• b < a + c

• c < a + b

sws

konstruierbar wenn:

• Länge zweier Seiten und Größe des Winkels

der zwischen den Seiten liegt gegeben sind

wsw

konstruierbar wenn:

• Länge einer Seite und die Größe der anliegenden Winkel gegeben sind

Ssw

konstruierbar wenn:

• Länge zweier Seiten und die Größe des Winkels

der gegenüber der längeren Seite liegt, gegeben sind

Vorgehen → genaue Konstruktion:

• Mit einer ausgewählten Seite beginnen und danach restlichen Größen hinzufügen

• Seitenlängen mit Zirkel eintragen; Winkel mit dem Geodreieck

Konstruktionsbeispiel:

I. Gerade zeichnen und Punkt A auswählen

II. Kreis um Punkt A zeichnen, Radius = Größe Seite c

III. Schnittpunkt der Geraden und des Kreises ergeben Eckpunkt B

IV. Kreis um B zeichnen, Radius = Größe Seite A

V. Kreis um A zeichnen, Radius = Größe Seite B

VI. Schnittpunkt der beiden Kreise ist Punkt C

2)mathematisch

Winkelfunktion sin/ cos/ tan: Sinus- und Kosinusfunktion

Legende:

H = Hypotenuse; A = Ankathete; G = Gegenkathete

• Sinus: sin(α) = G/H = a/c

Beispiel: a = 3cm; c= 5cm -> a/c = 3/5 = 0,6 |arc sin = 36.87°

• Kosinus: cos(α) = A/H = b/c

Beispiel: b = 3cm; c = 5cm ->b/c = 3/5 = 0,6 |arc cos = 53,13°

• Tangens: tan(α)=G/A = a/b

Beispiel: a = 3cm; b = 3cm ->a/b = 3/3 = 1 |arc tan = 45°

Sinus- und Kosinussatz: https://de.serlo.org/mathe/geometrie/sinus-cosinus-tangens/sinussatz-kosinussatz/sinussatz-kosinussatz-allgemeinen-dreieck

• Sinussatz: a/sin(α)= b/sin(β)= c/sin(γ) → Winkelergebnis

1. >Stellt Beziehung zwischen Winkel und gegenüberliegenden Seiten her

• Kosinussatz:

      a² = b² + c² – 2bc • cos(α)
      b² = a² + c² – 2ac • cos(β)
      c² = a² + b² - 2ab • cos(γ)

→Stellt Beziehung zwischen 3 Seiten und einem Winkel her

• Beispiel: b = 3cm; c = 7cm; α = 35º

  a² = 3² + 7² - 2 • 3 • 7 •cos(35°)
  a  ≈ 23,60

Pythagoras: Der Satz des Pythagoras ²⁾

• a² + b² = c² ³⁾

• Beispiel: a = 5cm; b = 3cm

c² = 5² + 3²

  c² = 25 + 9
  c  = √34
  c  ≈ 5.83 
                                                              

Katheten- und Höhensatz des Euklids: https://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_des_Pythagoras

• Kathetensatz: a² = c • p und b² = c • q

• Beispiel: a = 3cm; p = 5cm

   a² = c • p 
   3² = c • 5 
    c = 3²⁄ 5 
    c = 1.8

• Höhensatz: h² = p • q

• Beispiel: p = 3cm;q = 5cm

  h² = 3 • 5 
  h² = 15² 
  h  = √(15) 
  h  ≈ 3.87