Eine Nullstelle ist immer dort vorhanden, wo der Graph die x-Achse schneidet bzw. berührt. An der x-Achse ist der y-Wert, also der Funktionswert gleich Null. Das heißt, um die Nullstellen einer Funktion auszurechnen muss man die Funktion gleich Null setzen und nach x auflösen.

$$ \begin {array} {lcr} f(x) = 2x² - 2 \end {array}$$

Die Nullstellen sind die Stellen wo der y-Wert null ist. Im hier gezeigten Bild ist bereits erkennbar, dass der Graph die x-Achse bei -1 und 1 schneidet. Bei der Kurvendiskussion muss man diese Werte allerdings berechnen können. Dazu setzt man die Funktion gleich null. Danach löst man nach x auf. $$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& 2x² - 2 \\ f(x) &=& 0 \\ 0 &=& 2x² - 2 &|& +2 \\ 2 &=& 2x² &|& :2 \\ 1 &=& x² &|& \pm\sqrt{ }\\ 1 &=& x_1 \\ -1 &=& x_2 \\ \end {array}$$

⇒ Die Nullstellen liegen bei -1 und 1.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist dort, wo der Graph die y-Achse schneidet. Die y-Achse hat den x-Wert null. Das heißt um den zugehörigen y-Wert an der Stelle auszurechnen, muss man für x = 0 einsetzen.

$$ \begin {array} {lcr} f(x) = x³ + 0,5 \end {array}$$
Am Graphen erkennt man, dass der Schnittpunkt bei y = 0,5 liegt. Bei anderen Funktionen wird es vielleicht nicht so offensichtlich sein, oder es ist kein Graph vorhanden und man muss es ausrechnen.

$$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& x³ + 0,5 \\ f(0) &=& 0³ +0,5 \\ f(0) &=& 0,5 \\ \end {array}$$

⇒ Der Graph schneidet die y-Achse bei y=0,5. Der Schnittpunkt ist also S(0|0,5).

Eine Definitionslücke ist dort, wo ein x-Wert keinen zugeordneten y-Wert hat!

Wurzelfunktionen: Man kann keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, somit ist der Bereich, wo die Funktion unter der Wurzel negativ ist, nicht definiert.

$$ \begin {array} {lcr} f(x) = \sqrt{x+2} + 1 \end {array}$$ $$ \begin {array} {lcr} &&f(x) &=& \sqrt{x+2} + 1 \\ &\Rightarrow& x+2 &<& 0 &|& -2\\ &&x &<& -2 \\ \end {array}$$ ⇒ Wenn x kleiner ist als -2 ist die Funktion nicht definiert.

Logarithmusfunktionen: Man kann keinen Logarithmus aus einer Zahl kleiner gleich null berechnen, somit ist der Bereich wo die Funktion im Logarithmus kleiner gleich 0 ist, nicht definiert.

$$ \begin {array} {lcr} f(x) = ln(x-2) \end {array}$$ $$ \begin {array} {lcr} &&f(x) &=& ln(x-2)\\ &\Rightarrow& x - 2 &\le& 0 &|& +2\\ &&x &\le& 2\\ \end {array}$$ ⇒ Wenn x kleiner gleich 2 ist, ist die Funktion nicht definiert.

Bruchfunktionen: Man kann eine Zahl nicht durch null teilen, somit ist die Funktion an den Stellen wo der Nenner gleich null ist, nicht definiert. Bruchrechnung

$$ \begin {array} {lcr} f(x) = \frac{0,5x}{x-3} \end {array}$$ $$ \begin {array} {lcr} &&f(x) &=& \frac{0,5x}{x-3}\\ &\Rightarrow& x - 3 &=& 0 &|& +3\\ &&x &=& 3\\ \end {array}$$ ⇒ Bei x = 3 ist die Funktion nicht definiert.

Mit Außnahme der Funktion f(x) = 0 ist jede Funktion, wenn überhaupt achsen- ODER punktsymetrisch. Das heißt sobald eine Symmetrie nachgewiesen wird, kann die 2. ignoriert werden.

Wenn man die Funktion an der y-Achse spiegeln kann, ist sie achsensymmetrisch. Für die Bestimmung der Achsensymmetrie gilt:

$$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& 2x² - 2 \\ \end {array}$$ $$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& 2x² - 2 \\ f(x) &=& f(-x)\\ 2x² - 2 &=& 2(-x)² - 2\\ 2x² - 2 &=& 2x² - 2\\ \end {array}$$ ⇒ Es ist achsensymmetrisch.

Wenn man die Funktion im Ursprung (0|0) spiegeln kann, ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung. Für die Bestimmung der Punktsymmetrie gilt:

$$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& 3x³ + 0,5x \end {array}$$ $$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& 3x³ + 0,5x \\ -f(x) &=& f(-x)\\ -(3x³ + 0,5x) &=& 3(-x)³ +0,5(-x)\\ -3x³ - 0,5x &=& -3x³ - 0,5x\\ \end {array}$$ ⇒ Es ist punktsymmetrisch.

Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte. An ihnen ist die Steigung gleich null. Zum berechnen dieser Punkte benötigt man die erste Ableitung (f'(x))! Also musst man die erste Ableitung gleich null setzen! Und nach x auflösen! $$ \begin {array} {lcr} f'(x) = 0 \end {array}$$ Als nächstes muss man bestimmen ob es sich in diesem Fall um einen Hoch oder Tiefpunkt handelt! Dazu brauchen wir die 2. Ableitung! Mann muss den ausgerechneten x-Wert einsetzen! Ist der Funktionswert Positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt! Ist der Funktionswert negativ, handelt es sich um einen Hochpunkt!

Als letztes setzt man den x-Wert in die Originalfunktion ein, um den dazugehörigen y-Wert des Extrempunktes zu berechnen!

Um sich zu merken, wann es ein Hoch bzw Tiefpunkt ist, kann man sich einen Smiley vorstellen.

Ist der Wert der 2. Ableitung negativ, so ist der Smiley traurig
⇒ Der Mund hat einen Hochpunkt
⇒ Es ist ein Hochpunkt

Ist der Wert der 2. Ableitung positiv, so ist der Smiley glücklich
⇒ Der Mund hat einen Tiefpunkt
⇒ Es ist ein Tiefpunkt

$$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& x^2 + x\\ \end {array}$$ Erstens: 1. und 2. Ableitung der Funktion bestimmen $$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& x² + x \\ f'(x) &=& 2x + 1 \\ f''(x) &=& 2\\ \end {array}$$

Zweitens: 1. Ableitung gleich null setzen und nach x auflösen $$ \begin {array} {lcr} f'(x) &=& 0 \\ 2x + 1 &=& 0 &|& -1\\ 2x &=& -1 &|& :2\\ x &=& -0,5 \\ \end {array}$$ ⇒ Der Extrempunkt liegt bei x = -0,5

Drittens: 2. Ableitung bei -0,5 anschauen $$ \begin {array} {lcr} f''(-0,5) &=& 2 \end {array}$$ ⇒ Die 2. Ableitung am Extrempunkt ist positiv, also ist es ein Tiefpunkt

Viertens: Der x-Wert muss wieder in die Originalfunktion eingesetzt werden um die y-Koordinate des Punktes zu bestimmen. $$ \begin {array} {lcr} f(-0,5) &=& (-0,5)² + (-0,5) \\ f(-0,5) &=& -0,25\\ \end {array}$$ ⇒ Der Tiefpunkt hat die y-Koordinate -0,25, Der Tiefpunkt liegt also bei T(-0,5|-0,25)

Ein Wendepunkt ist ein Punkt im Funktionsgraphen mit der extremsten Steigung. Am Wendepunkt ist die Krümmung gleich null und dort wechselt sie vom Positiven ins Negative oder andersrum. Da die 2. Ableitung die Krümmung angibt, benötigen wir sie um den Punkt in welchem die Krümmung gleich null ist zu errechnen! Es gilt: $$ \begin {array} {lcr} f''(x) &=& 0 \end {array}$$ Nun muss nach x aufgelöst werden! Um zu zeigen das dies wirklich ein Wendepunkt ist, muss die 3. Ableitung ungleich null sein! Es muss also gelten: $$ \begin {array} {lcr} f'''(x) &≠& 0 \end {array}$$ Als letztes muss man den x-Wert in die Originalfunktion einsetzten, um die dazugehörige y-Koordinate zu erhalten!

$$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& x³ + 6x²\\ \end {array}$$

Erstens: Man braucht 1./2. und 3. Ableitung (Die man auch vorher schon gebildet haben kann) $$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& x³ + 6x²\\ f'(x) &=& 3x² + 12x\\ f''(x) &=& 6x + 12\\ f'''(x) &=& 6\\ \end {array}$$

Zweitens: Die 2. Ableitung wird gleich null gesetzt und man löst nach x auf. $$ \begin {array} {lcr} f''(x) &=& 0\\ 6x + 12 &=& 0 &|& -12\\ 6x &=& -12 &|& :6\\ x &=& -2\\ \end {array}$$ ⇒ Der Wendepunkt ist beim x-Wert -2

Drittens: Die 3. Ableitung muss ungleich 0 sein $$ \begin {array} {lcr} f'''(x) &≠& 0\\ 6 &≠& 0\\ \end {array}$$ ⇒ 6 ist ungleich 0, dass heißt es ist wirklich ein Wendepunkt

Viertens: Nun muss man den x-Wert in die Originalfunktion einsetzten, um die dazugehörige y-Koordinate zu erhalten! $$ \begin {array} {lcr} f(-2) &=& (-2)³ + 6(-2)²\\ f(-2) &=& -8 + 24\\ f(-2) &=& 16\\ \end {array}$$ ⇒ Die y-Koordinate ist 16. Das heißt der Wendepunkt liegt bei W(-2|16).

Hier geht es darum, zu Beschreiben wie sich der Graph verhält wenn er Richtung unendlich oder Richtung -unendlich verläuft! Um das verhalten im positiven unendlichen zu berechnen muss der $lim(x\rightarrow\infty)$ der Funktion berechnet werden. (für den lim muss man im Grunde unendlich bzw -unendlich für x einsetzen und sich überlegen was rauskommt. Z.B. $\infty² = \infty$ oder $\frac{1}{\infty} = 0$) $$ \begin {array} {lcr} lim(x\rightarrow\infty) f(x)\\ \end {array}$$ Um das verhalten im negativen unendlichen zu berechnen muss der $lim(x\rightarrow-\infty)$ der Funktion berechnet werden. $$ \begin {array} {lcr} lim(x\rightarrow-\infty) f(x)\\ \end {array}$$

Im positiven unendlichen: $$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& x² + 4\\ lim(x\rightarrow\infty) f(x) &=& \infty\\ \end {array}$$ Im negativen unendlichen: $$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& x² + 4\\ lim(x\rightarrow-\infty) f(x) &=& \infty \\ \end {array}$$

Im positiven unendlichen: $$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& x³ + 1\\ lim(x\rightarrow\infty) f(x) &=& \infty\\ \end {array}$$ Im negativen unendlichen: $$ \begin {array} {lcr} f(x) &=& x³ + 1\\ lim(x\rightarrow-\infty) f(x) &=& -\infty\\ \end {array}$$

Der letzte Schritt der Kurvendiskussion ist im Grunde eine Zusammenfassung von allem, was bis jetzt über die Funktion herausgefunden wurde. Es geht darum eine geeignete Zeichnung zu erstellen, welche alle wichtigen Merkmale der Funktion zeigt.

Hierzu nimmt man dich den niedrigsten und höchsten besonderen Punkt der Funktion vor (Nullstelle, Schnittpunkt mit der y-Achse, Definitionslücke,Extrempunkt oder Wendepunkt) und mit plus ein/zwei Zentimeter links und rechts davon sollten sie den gezeichneten Bereich einschließen.

Bei den folgenden Übungsaufgaben soll jeweils eine vollständige Kurvendiskussion durchgeführt werden.

$$ \begin {array} {lcr} f(x) = x² + 4x + 2 \end {array}$$

$$ \begin {array} {lcr} f(x) = x³ + 6x \end {array}$$

$$ \begin {array} {lcr} f(x) = \frac{1}{x²} \end {array}$$

$$ \begin {array} {lcr} f(x) = x - \sqrt{2x+4} \end {array}$$

$$ \begin {array} {lcr} f(x) = 3x³ + 2x² - 6x + 5 \end {array}$$