Ich möchte hier noch einmal schnell darauf eingehen, was eine lineare Funktion überhaupt ist. Der mathematische Zusammenhang für den Schulunterricht lautet

$f(x) = m · x + b$

Oftmals wird auch mit der Gleichung $y = m · x + b$ gearbeitet. Dabei sind $m$ und $b$ irgend welche Zahlen, also zum Beispiel 6,3 oder 15. Eine solche Funktion sieht beim Zeichnen aus, wie eine „gerade Linie“.

Da du ja warscheinlich schon weißt, wie lineare Funktionen aussehen, werde ich ersteinmal die Bedeutung der einzelnen Bestandteile erklären.

Gegeben ist die Normalform einer linearen Funktion: $y=mx+b$

$ y $ = abhängige Variable, y-Wert, Funktionswert ; $ m $ = Steigung (dazu später mehr) ; $ x $ = unabhängige Variable, x-Wert, (Funktions-)Argument ; $ b $ = y-Achsenabschnitt

Der $y$-Wert ist davon abhängig, was man für $x$ in die Funktionsgleichung einsetzt. Man bezeichnet $y$ deshalb als abhängige Variable. Entsprechend ist $x$ die unabhängige Variable.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In kartesischen Koordinaten ( x | y ) gilt $ y = m ⋅ x + b $ mit reellen Zahlen $ m $ und $b$ wobei $x$ (die Abszisse) eine unabhängige und $y$ (die Ordinate) die abhängige Variable ist.

Es gibt zahlreiche andere Bezeichnungen für den Funktionsterm, z. B. $a x + b$ , $m x + c$ , $m x + n$ oder $m x + t$. Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren: Die Variable $m$ gibt die Steigung der Geraden an. Die Variable $b$ ist der y-Achsen- oder Ordinatenabschnitt, also der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet, oder die Verschiebungskonstante. Der Graph einer linearen Funktion verläuft nie parallel zur y-Achse, da damit einem x mehr als ein y zugeordnet wäre, was in Widerspruch zur geforderten Eindeutigkeit einer Funktion stünde.

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Nachdem wir nun geklärt haben, was eine lineare Funktion ist, wollen wir diese nun zeichnen. Wie dies funktioniert, werde ich anhand eines Beispiels nun ausführlich erklären. Mein Beispiel zeigt, wie man $ f(x) = y = 2x $ zeichnet. Dabei beginnen wir zunächst wieder mit einer Wertetabelle

Wertetabelle $y=2x $:

Und so sollte es sein:

Die Gleichung $y = 2x$ schreibt ihr als erstes hin. Zeichnet nun die horizontale und vertikale Linie der Wertetabelle. Schreibt über die linke Spalte x, über die rechte Spalte y und schreibt die Zahlenfolge von -5 bis +5 in die linke Spalte. Setzt den jeweiligen X-Wert in die Gleichung ein und rechnet jeweils den Y-Wert aus. Tragt den jeweiligen Y-Wert in die rechte Spalte ein

Als nächstes müsst ihr ein X-Y-Koordinatensystem zeichnen, und die Werte aus der Wetetabelle in das Koordinatensystem eintragen. Die folgende Grafik zeigt die fertige Lösung.

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$f(x) = 2x$

Jetzt schauen wir uns an, wie man die Steigung einer linearen Funktion berechnet.

Die Normalform einer linearen Funktion lautet: $y = mx+b$

Dabei steht der Buchstabe $m$ für die Steigung.

Beispiel: Die Funktion $y = 2x + b$ besitzt die Steigung $m = 2$

Vorgehensweise 1. Koordinaten der Punkte in die Steigungsformel einsetzen:

Beispiel

Gegeben sind zwei Punkte $p_{0}= (2|-3)$ und $p_{1}=(4|6)$ .

Wie groß ist die Steigung der Geraden, die durch diese beiden Punkte verläuft? Wir setzen die Koordinaten der Punkte in die Steigungsformel ein und erhalten

$m = \frac {y_{1} - y_{0}} {x_{1} - x_{0}} = \frac {-3 -6} {2-4} = \frac {-9} {-2} = 4,5$

Merke: Das Vertauschen der Punkte ändert nichts am Ergebnis!

$m = \frac {y_{1} - y_{0}} {x_{1} - x_{0}} = \frac {6-(-3)} {4-2} = \frac {9} {2} = 4,5$

Zu allgemeinen Informationen: Kurvendiskussion

Wir wissen bereits, dass eine Nullstelle genau dann vorliegt, wenn die y-Koordinate Null ist. Der Rechenansatz für eine Nullstelle lautet also:

$y=0$

Vorgehensweise: Funktion gleich Null setzen ($y=0$)

Gleichung nach $x$ auflösen:

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion $y=3x+3$

1.) Funktion gleich Null setzen.

Wir setzen die Funktion gleich Null, d.h. wir setzen für $y$ den Wert 0 ein:

$0=3x+3$

2.) Gleichung nach $x$ auflösen:

Jetzt müssen wir die Gleichung nach $x$ auflösen, um die gesuchte Nullstelle zu finden. Dazu rechnen wir auf beiden Seiten zunächst „-3“, um die 3 auf die rechte Seite zu bringen.

$3x+3=0|-3$

$3x+3-3=-3$

$3x=-3$ Jetzt teilen wir die Gleichung durch 3, damit das $x$ alleine dasteht.

$3x=-3|:3$

$x = -3 : 3$

$x=-1$

Zeichne die Graphen:

1. $y = 2x-3$

2. $y = -x+2$

3. $y = -0,8x+2$

4. $y = 0,4x-2$

Lösung von Aufgabe 1:

Lösung von Aufgabe 2:

Lösung von Aufgabe 3:

Lösung von Aufgabe 4: