Das Wort Logarithmen setzt sich aus den Worten Lógos (Altgriechisch: Verständnis, Lehre, Logik) und Arithmós (Altgriechisch: Zahl) zusammen. Das Logarithmieren beschreibt also das Verständnis oder die Logik der Zahlen. Wahrscheinlich habt ihr in den letzten Jahren schon viele Rechenoperationen kennengelernt. Das Subtrahieren, Addieren, Multiplizieren und Dividieren habt ihr bereits in der Grundschule und das Wurzelziehen und Potenzieren in den letzten Jahren kennengelernt und euch mit dem Umgang dieser Rechenoperationen vertraut gemacht. Mit dem Logarithmieren werdet ihr eine ganz neue Rechenoperation kennenlernen.

Das Logarithmieren ist stark mit dem Potenzieren (Quadrieren) und dem Wurzelziehen verwandt. Anhand folgender Gleichung kann man dies gut erkennen: $$ \begin{array}{lcr} b^x&=&y
\end{array}$$

Bsp.

Beim Logarithmieren gilt also:

$$ \begin{array}{lcr} b^x&=&y
\end{array}$$ ⇒ $$ \begin{array}{lcr} b^x&=&\log_b(x)
\end{array}$$

Bsp: $$ \begin{array}{lcr} 2^4&=&16
\end{array}$$⇒$$ \begin{array}{lcr} \log_2(16)&=&4
\end{array}$$

Beachte: Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert. Daher muss auch die Basis positiv sein, also >0 → $x=\log_0$ müsste dann $0=b^x$ bedeuten. Ist b ungleich 0 ist die jedoch für keine reelle Zahl lösbar.

Ihr habt nun sicherlich die Funktion und den Aufbau der Logarithmen verstanden. Um jetzt noch sicher mit ihnen zu rechnen, müsst ihr einen Blick auf die Logarithmengesetze werfen.

Mit diesem Wissen habt ihr euch schon einiges an Arbeit erspart, denn ihr wisst nun, dass ihr nur einige wenige Formeln / Rechengesetze verändern müsst, um euch der „Welt der Logarithmen“ ohne großen Aufwand und völlig furchtlos zu nähern.

Es gelten 3 wichtige Logarithmengesetze, welche sich aus den Potenzgesetzen herleiten lassen:

Multiplikation

L1: $\log_b(x∙y)=\log_bx+\log_by$

$b^m∙b^n=b^{m+n}$

$\log_b(b^m∙b^n)=\log_b(b^{m∙n})$

$\log_b(b^m+b^n)=m+n$

formt man die Potenz nun wieder in eine Logarithmusgleichung um, so gilt: $b^m=x$→$\log_b(x)=m$

und $b^n=y$→$\log_b(y)=n$

$\log_b(b^m+b^n)=m+n$

$\log_b(x∙y)= \log_b(x)+\log_b(y)$

Division

L2: $\log_b\frac{x} {y}=\log_bx-\log_by$

$\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}$

$\log_b(\frac{b^m}{b^n})=\log_b(b^{m-n})$

$\log_b(\frac{b^m}{b^n})=m-n$

$\log_b(\frac{x}{y})=\log_b(x)-\log_b(y)$

Potenz

L3: $\log_bx^y=y∙\log_bx$

$(b^m)^n=b^{m∙n}$

$\log_b({(b^m)}^n)=\log_b(b^{m∙n})$

$\log_b({(b^m)}^n)=m∙n$

$\log_bx^y=\log_b(x)∙y$

$log_bx^y=y∙\log_bx$

Neben den drei o.g. Logarithmengesetzen gibt es weitere, jedoch nicht so häufig verwendete, Rechengesetze, welche sich nicht aus den Potenzgesetzen herleiten, jedoch trotzdem beweisen lassen. Hier seht ihr die „wichtigsten“:

Wurzeln

$\log_b\sqrt[n] {x} =\log_b(x^\frac {1} {n})→=\frac {1} {n} \log_bx$

Basiswechselsatz

$\log_bx=\frac {\log_ax} {\log_ab}$

$x=b^{\log_b(x)} |\log_a$

$\log_a(x)=\log_a(b^{\log_b(x)})$

$\log_a(x)=\log_b(x)∙\log_a(b) |:\log_a(b)$

$\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}=\log_b(x)$

Falls ihr euch wundert, was die Variable a in dieser Basisumrechnung zu suchen hat, kann ich euch beruhigen. Der Faktor a fungiert in dieser Gleichung als eine beliebige Basis!!! Denn da wir keinen weiteren Faktor gegeben haben, müssen wir uns einen Faktor „dazu dichten“, doch die Auswirkungen sind nicht weiter schlimm, da wir wissen, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen um einen Konstanten Faktor, nämlich a, voneinander unterscheiden…

Falls ihr euch jetzt fragt, ob es nur diesen einen, allgemeinen Logarithmus gibt, so ist die Antwort nein! Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmen und wahrscheinlich werdet ihr bei vielen Rechenaufgaben einen anderen benötigen müssen. (z.B. $\log_212$ oder $\log_\frac{6} {7}54$) Als Beispiel könnt ihr dies an folgener Textaufgabe erkennen:

Eine Dodoleiche, angespült an der Küste von Grönland, enthält noch 3,419% der natürlichen $C14$ - Menge (Halbwertzeit: 5730 Jahre). Vor wie vielen Jahren hat der Dodo gelebt?

$$ \begin{array}{lcr} f(x)&=&100∙(\frac {1} {2})^\frac {x} {5730}&=&3,419 │:100
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} (\frac {1} {2})^\frac {x} {5730}&=&0,03419 │\log_\sqrt[5730]\frac {1} {2} (0,03419)
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} x&=& 27906,7
\end{array}$$

Der Dodo hat vor 27906,7 Jahren gelebt

Nun habt ihr gesehen, wie „komisch“ Logarithmen aussehen können. In der Mathematik gibt es ganz allgemein 5 Grundarten von Logarithmen. 2 davon sind jedoch in der höheren Mathematik angesiedelt und von daher ziemlich kompliziert. Sollten euch diese jedoch interessieren, so findet ihr bei ihren Einträgen auch noch Links zu Websites die euch diese zwei Logarithmen näher erläutern. Im Folgenden erläutere ich euch die 3 Arten von Logarithmen aus der „einfachen“ Mathematik, die euch vermutlich öfter über den Weg laufen werden.

Dieser Logarithmus wird auch Zweierlogarithmus genannt. $x = \log_2(y)⇔ y = 2^x$ Für jeden dieser 5 Logarithmen gibt es auch eigene Schreibweisen, so wird der Binäre Logarithmus oft statt $\log_2$ mit $lb$ abgekürzt. Die Basis dieses Logarithmus ist immer 2 (daher der Name) es gilt:

Eine Besonderheit dieses Logarithmus ist, dass dieser die Umkehroperation vom Quadrieren ist, einer besonderen Art des Potenzierens. ⇒ $\log_2(2^x) = x$ →($\log_2$ und $2^x$ kehren einander um!!!)

Allgemein gilt: $$ \begin{array}{lcr} y&=&2^x
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} \log_2y&=&x
\end{array}$$

Bsp:

$\log_216 = 4$ → ($2^4 = 16$)

$\log_21024 = 10$ → ($2^{10} = 1024$)

Dieser Logarithmus hat die Basis 10. → ($log_{10}$)

Oft schreibt man: $\log_{10}$→$\lg$

Auch hier gilt:

$$ \begin{array}{lcr} y&=&10^x
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} \log_{10}y&=&x
\end{array}$$

Bsp:

$\lg8 = 0,903\ldots$

$\lg54 = 1,732\ldots$

Dieser Logarithmus hat die Eulersche Zahl zur Basis.

Dieser Logarithmus ist besonders, da die Eulersche Zahl (e = 2,71828182849…) eine irrationale reelle Zahl ist und in der Analysis einzuordnen ist, also auch in allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik. Sie wird also auch beim exponentiellen WachstumExponentielles Wachstum, der Integral- und DifferentialrechnungIntegralrechnung;Differentialrechnung/Differentialrechnung usw. benutzt. Falls ihr mehr darüber erfahren wollt, dann klickt doch einfach die o.g. Links an. Da die Eulersche Zahl in so viele mathematischen Teilgebieten eine große Rolle spielt, gilt sie als eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik!!! Der Natürliche Logarithmus ist bei den komplexen Zahlen und der Trigonometrie Trigonometrie auch von Bedeutung. Auch hier gilt:

Die Schreibweise für den Natürlichen Logarithmus ist: $\log_{e} $ → $\ln$

Allgemein gilt: $$ \begin{array}{lcr} y&=&{e}^x
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} \log_{e}y&=&x
\end{array}$$

Bsp:

$\ln8 = 2,079\ldots$

$\ln34 = 3,526\ldots$

Diese 3 Logarithmenarten sind in der „schulischen“ Mathematik aber auch der Physik, Chemie und Biologie, sowie im Alltag nützlich, da wir z.B. im Finanzwesen unsere Verzinsung berechnen und uns dabei bares Geld sichern können(und wer möchte das nicht). Hier seht ihr einige Beispiele, an denen man merkt, wie wichtig Logarithmen nicht nur in der Mathematik sind.

Dekadischer Logarithmus: pH-Wert als negativer dekadischer Logarithmus der $H_3O^+$ Ionenkonzentration in der Chemie

Binärer/Dualer Logarithmus: Bakterienwachtum in der Biologie

Natürlicher Logarithmus: spezielle Grenzwerte bspw. momentane Spannung eines Kondensators in der Physik

Wenn ihr euch jetzt fragt, stand da nicht vorhin, dass es 5 Grundarten von Logarithmen gibt, dann habt ihr Recht. Die anderen zwei Logarithmen werden der höheren Mathematik zugeordnet. Sie werden in der Schule nicht gelehrt, da Rechnungen mit ihnen sehr schwierig sind und sie keinen „echten“ Bezug zum Leben haben. Sie werden hauptsächlich für Berechnungen in der Theorie genutzt und kommen meist nur an Universitäten und anderen Forschungszentren zum Einsatz.

In der höheren Mathematik spielt der Komlexe Logarithmus eine wichtige Rolle, bei dem komplexe Zahlen w in der Gleichung $e^w = z$ einen natürlichen Logarithmus von z bilden. Für jedes z ∈ℂ{0} existiert ein w. In diesem nicht reellen Logarithmus ist dieses jedoch nicht bestimmt. Bsp.

$e^{2kπi}$= 1 → k∈ℤ

$ln(-1)=ln|-1|+πi+2kπi=(2k+1)πi$

Weitere Erklärungen würden jedoch ein zu hohes Wissen erfordern, falls euch diese Logarithmen aber interessieren, dann schaut mal unter diesem Link nach Komplexer Logarithmus

Diskrete Logarithmen sind das Analogon zu gewöhnlichen Logarithmen aus der Analyses. Sie sind die Lösungen von Gleichungen in Form ;

$a^x=a∙a∙a∙a∙a\ldots=b$ immer über eine endliche zyklische Gruppe!

Der Diskrete Logarithmus zu x von b zur Basis a ist mit dem Divisionslogarithmus der Gruppenordnung G eindeutig bestimmt und existiert immer nach dem Erzeuger und dadurch, durch alle Elemente der Gruppe.

$2^x mod 11 = 5$

$= 4$

denn $2^4=16$, und 16 lässt den Rest 5 bei Division mit Rest durch 11.

modulo ⇒ $(ℤ / 11 ℤ)^x$ mit $x$ auch $\pm x$ eine Lösung der Kongruenz.

Falls euch das Thema noch mehr interessiert, dann guckt auch hier gerne nochmal auf dieser Seite nach:Diskreter Logarithmus

Um zu überprüfen, ob ihr verstanden habt wie man logarithmiert findet ihr im folgenden einige Aufgaben

Bestimme:

$\log_2(32)$ ¹⁾ $\log_7(52)$ ²⁾ $\log_4(4)$ ³⁾ $\log_4(16)$ ⁴⁾ $\log_9(432)$ ⁵⁾ $\log_5(525)$ ⁶⁾

Forme um und bestimme:

$3^x=27$ ⁷⁾ $2^x=16$ ⁸⁾ $6^x=1296$ ⁹⁾ $12^x=2985984$ ¹⁰⁾

Löse folgende Textaufgaben:

1) Die Sonne ist 149.600.000 km von der Erde entfernt. WIe oft müsste man ein 0,4 mm dickes Blatt falten, bis es die Distanz zur Sonne zurücklegt?

2) Jod 131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Angenommen wir hätten 500g Jod a) Wie lange müssten wir warten bis nur noch 5 Milligramm vorhanden ist? b) Wie viel von den 500g sind nach 20 Tagen noch vorhanden?

3) Die Schaumkrone von einem Bier, die ursprünglich 8 cm betrug, ist nach 4 Minuten auf die Hälfte zerfallen. Wann ist nur nur 1 cm der Schaumkrone vorhanden?

4) Momentan (04.04.2017) leben 7,44 Mrd. Menschen auf der Erde. In welchem Jahr werden 12 Mrd. Menschen auf der Erde leben, wenn das Bevölkerungswachstum auf der Erde jährlich bei 1,2% liegt und in welchem Jahr lebten 3 Mrd. Menschen auf der Erde?