pq-Formel

Dies macht man indem man die Zahlen die an der Stelle von p und q stehen in die pq-Formel einsetzt:
Diese lautet $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
Die Gleichung muss man anschließend nur noch auflösen.
Dabei gilt es natürlich einiges zu beachten:
1.Vor dem $x^{2}$ in der Ausgangsgleichung darf keine Zahl stehen!
Wenn die Ausgangsgleichung beispielsweise $0=4x^{2}+8x+4$ lautet kann man erst einmal nicht die pq-Formel benutzen, man kann jedoch einen sehr einfachen Zwischenschritt machen damit man sie benutzen kann.
Ihr teilt also die gesammte Gleichung durch die Zahl vor $x^{2}$ in diesem Fall 4: $$ \begin{array}{lcr} 0=4x^{2}+8x+4 \;\;\;|:4\\ \frac{0}{4}=\frac{4}{4}x^{2}+\frac{8}{4}x+\frac{4}{4}\\ \mathrm{Dies\;gibt\;vereinfacht}\\ 0=1x^{2}+2x+1 \end{array}$$

2. Beim lösen einer pq-Formel gibt es normalerweise zwei Lösungen.
Man kann immer zwei Lösungen errechnen wenn der Wert unter der Wurzel (Diskriminante genannt ) größer als 0 ist: $\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=\sqrt{>0}$
Denn wenn das Ergebnis unter der Wurzel positiv ist, ist auch die Wurzel von diesem Wert positiv. Und da $\pm$ vor der Wurzel steht müsst ihr diesen Wert einmal mit $\frac{p}{2}$ addieren und einmal von $\frac{p}{2}$ abziehen → zwei Werte

Es gibt auch die Möglichkeit dass es beim Lösen der pq-Formel nur ein Ergebnis gibt. Dies tritt ein wenn dass Ergebnis unter der Wurzel 0 ist: $\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=\sqrt{0}$

Die dritte Möglichkeit ist, dass es kein Ergebnis gibt. Dies geschieht wenn man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsste was jedoch (im reellen Zahlenbereich) nicht möglich ist: $\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=\sqrt{<0}$
Ihr bekommt also kein Ergebnis heraus!

3. Es ist wichtig das der Wert vor dem Gleichheitszeichen 0 ist da man die pq-Formel sonst nicht anwenden darf. Steht hier jedoch eine andere Zahl als 0 müsst ihr diese erst auf die andere Seite bringen.

Um die Herleitung der pq-Formel zu verstehen nimmt man die Normalform $0=x^{2}+px+q$ und stellt sie nach x um: $$ \begin{array}{lcr} \;\;\;\;\;\;\;\;0=x^{2}+px+q \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|-q\\ \;\;\;\;-q=x^{2}+px \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}\\ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=x^{2}+px+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}\\ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\sqrt{0}\\ \pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}=x+\frac{p}{2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|-\frac{p}{2}\\ -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}=x\\ \end{array}$$

Man addiert in Zeile 2 $\left(\frac{p}{2}\right)^{2}$ um nun die 1. Binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ anzuwenden:

Nun setzt man jedoch für a=x ein und für b=$\left(\frac{p}{2}\right)^{2}$
Daraus entsteht eine abgewandelte Form der 1. binomischen Formel, es wurden bloß andere Werte für a und b eingesetzt:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ⇒ $\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}=x^{2}+px+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}$
Da Binomische Formeln in beide Richtungen funktionieren (Auch auf der Seite der Binomischen Formeln erklärt) faktorisiert man jetzt $\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=x^{2}+px+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}$ und erhält $\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}$
Nun steht schonmal das x alleine jedoch stört das „hoch 2“ noch.
Man zieht also die Wurzel wodurch sich jedoch ein $\pm$ ergibt.
Dieses „Plusminus“ entsteht da „Minus mal Minus wieder Plus ergibt“
(Man quardriert eine negative Zahl zum Beispiel -5, dies ergibt Quadriert jedoch +25: Daraus folgert man: $x^{2}=-x^{2}$)
Nun muss man nur noch $\frac{p}{2}$ durch subtrahieren auf die andere Seite bringen.

pq-Formel mit zwei Lösungen:

pq-Formel mit einer Lösung:

pq-Formel mit keiner Lösung: