Proportionale und Antiproportionale Zuordnung

Gegeben ist folgende Zuordnung: (Beispiel 1)

1⟼2

2⟼4

3⟼6

4⟼8

5⟼10

Man kann erkennen: Wenn sich der linke Mert vergrößert, vergrößert sich auch der rechte Wert. Wenn sich der linke Wert verdoppelt, verdoppelt sich auch der rechte Wert.

Gegeben ist die Zuordnung von Beispiel 1

1kg Birnen kostet 2€, das heißt: 1⟼2

Vordoppelt man das Gewicht der Birnen, so verdoppelt sich auch der Preis.

2kg Birnen kosten also 4€, das heißt: 2 · 1⟼2 · 2

Verdreifach man das Gewicht der Birnen, so verdreifacht sich auch der Preis.

3kg Birnen kosten also 6€, das heißt: 3 · 1⟼3 · 2

Aus diesen Werten lässt sich schlussfolgern, dass bei einer proportionalen Zuordnung x⟼y der Quotient von x/y gleich sein muss.

Den Quotienten aus dem zugeordnetem Wert (y) und dem Ausgangswert (x) nennt man auch Proportionalitätsfaktor.

Veranschaulichung anhand von Beispiel 1:

2/1 = 2 (Proportionalitätsfaktor)

4/2 = 2

6/3 = 2

8/4 = 2

10/5 = 2

Der Proportionalitätsfaktor der Zuordung von Beispiel 1 ist also 2.

Wenn der Proportionalitätsfaktor bekannt ist, lässt sich der zugehörige Wert (y) jedes beliebigen Ausgangswertes (x) berechnen indem man die Rechnung für den Proportionalitätsfaktor umstellt.

$$ \begin{array}{lcr} y/x = Proportionalitätsfaktor |·x \\ y= x·Proportionalitätsfaktor \\ \end{array}$$

Folglich lässt sich der zugeordnete Wert von x mit der Rechnung

$y= k·x$ (k ist der Proportionalitätsfaktor)

errechnen.

(Graphische Darstellung der Zuordnungen von Beispiel 1)

Der Ausgangswert wird als x-Wert und der zugeordnete Wert als y-Wert ins Koordinatensystem eingetragen.

0⟼0 A(0|0)

1⟼2 B(1|2)

2⟼4 C(2|4)

3⟼6 D(3|6)

4⟼8 E(4|8)

5⟼10 (5|10)

Wenn man die Punkte miteinander verbindet, lässt sich feststellen, dass ein Strahl durch die Punkte vom Nullpunkt aus entsteht. Es entsteht also eine gleichmäßig steigende Ursprungsgerade.

Eine normale Zuordnungstabelle besteht aus zwei Spalten, die Rechte für den Ausgangswert und die Linke für den zugeordneten Wert, oder im Falle einer waagerechten Zuordnungstabelle die Obere für den Ausgangswert und die untere für den zugeordneten Wert.

Es können auch mehr Spalten erstellt werden. Hierbei ist dann in der linken/oberen Spalte der Ausgangswert und in den weiteren Spalten dem Ausgangswert einzeln zugeordnete Werte. Bei der proportionalen Zuordnung ist die Zuordnungstabelle besonders nützlich für einen Vergleich, z.B. für einen Preisvergleich von zwei Supermärkten die die gleichen Produkte zu unterschiedlichen Preisen anbieten.

Gegeben ist folgende Zuordnung: (Beispiel 2)

1⟼12

2⟼6

3⟼4

4⟼3

5⟼2,4

6⟼2

Man kann erkennen: Wenn sich der linke Wert vergrößert, verkleinert sich der rechte Wert. Wenn sich der linke Wert verdoppelt, halbiert sich der Linke, wenn sich der linke Wert verdreifacht, wird der Linke gedrittelt usw.

Gegeben ist die Zuordnung von Beispiel 2

1 Maler bracht 12 Stunden, das heißt: 1⟼12

Verdoppelt sich die Menge an Malern, halbiert sich die Zeit.

2 Maler brauchen also 6 Stunden, das heißt: 2·1⟼$\frac{1}{2}$·12

Verdreifacht sich die Menge an Malern, drittelt sich die Zeit.

3 Maler brauchen also 4 Stunden, das heißt: 3·1⟼$\frac{1}{3}$·12

Aus diesen Werten lässt sich schlussfolgern, dass bei einer antiproportionalen Zuordnung x⟼y das Produkt von x·y immer gleich ist.

Der Nullpunkt bildet auch hier eine Ausnahme, da es keinen Sinn macht, dass 0 Maler 0 Stunden zum streichen brauchen.

Das Produkt aus dem Ausgangswert (x) und dem zugeordnetem Wert (y) nennt man auch Antiproportionalitätsfaktor.

Veranschaulichung anhand von Beispiel 2:

1·12= 12 (Antiproportionalitätsfaktor)

2·6= 12

3·4= 12

4·3= 12

5·2,4= 12

Der Antiproportionalitätsfaktor der Zuordnung von Beispiel 2 ist also 12.

Wenn der Antiproportionalitätsfaktor bekannt ist, lässt sich jeder beliebige zugeordnete Wert (y) zu einem Ausgangswert (x) ausrechnen, indem man die Rechnung für den Antiproportionalitätsfaktor umstellt.

$$ \begin{array}{lcr} x·y= Antiproportzionalitätsfaktor |:x\\ y= Antiproportionalitätsfaktor·\frac{1}{x}\\ \end{array}$$

Folglich lässt sich der zugeordnete Wert von x mit der Rechnung

$y= k·\frac{1}{x}$ (k ist der Antiproportionalitätsfaktor)

errechnen.

(Graphische Darstellung der Zuordnung von von Beispiel 2)

1⟼12 A(1|12)

2⟼6 B(2|6)

3⟼4 C(3|4)

4⟼3 D(4|3)

5⟼2,4 E(5|2,4)

Wenn man die Punkte miteinander verbindet, erkennt man, dass eine Hyperbel durch alle Punkte entsteht.

Die Hyperbel hat die Formel: $y= 12·\frac{1}{x}$

Auch die antiproportionale Zuordnung lässt sich in einer Zuordnungstabelle darstellen. auch hier steht in der linken Spalte der Ausgangswert (x) und in der rechten Spalte der dem Ausgangswert zugeordnete Wert (y). Bei einer waagerechten Zuordnungstabelle steht auch der Ausgangswert oben und der zugeordnete Wert unten.

Zur Untersuchung auf Proportionalität oder Antiproportionalität:

Zur Ergänzung von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen:

Zur Anwendung des Dreisatzes bei Zuordnungen: