Er besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate dem Flächeninhalt des Hypothenusenquadrates entspricht.
Doch was sind überhaupt Katheten und Hypothenusen und wie kann man sich das vorstellen?

Die Katheten eines Dreiecks beschreiben die Seiten, die am rechten Winkel anliegen. Die Hypothenuse ist somit die einzige Seite, die nicht an dem rechten Winkel anliegt, sondern ihm gegenüber steht. Außerdem ist ein weiteres Merkmal der Hypothenuse, dass diese immer die längste Seite des Dreiecks ist.
¹⁾
Wenn man dann jede einzelne Seite quadriert, also Hypothenuse · Hypothenuse und Kathethen · Katheten, so erhält man das Hypothenusenquadrat und die Kathetenquadrate.
Dies kann man auch nochmal sehr gut an dem Beispiel erkennen.
²⁾
In diesem Beispiel ist unser rechter Winkel γ und somit unsere Hypothenuse die Seite c, da sie γ gegenüber liegt.

Wie schon vorhin erwähnt, ergibt sich der Satz des Pythagoras aus der Aussage, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypothenusenquadrat ist. Die entsprechende Formel lauetet bei unserem Beispiel γ=90° also:
$$a²+b²=c²$$ Wenn α=90° ist, lautet die Formel:
$$b²+c²=a²$$ Bei dem Fall, dass β=90° beträgt, würde die Formal dann wie folgt lauten:
$$a²+c²=b²$$
Wenn wir nun also nur die Seiten a=3 und b=3 haben, die Seite c aber wissen möchten, müssen wir einfach nur den Satz des Pythagoras anwenden.
Da beide Seiten gleich lang sind, können wir schonmal auschließen, dass eine der Seiten die Hypothenuse ist, da die Hypothenuse ja immer die längste Seite beschreibt. Da die längste Seite auch immer gegenüber des rechten Winkels ist, können wir festhalten, dass γ=90º sein muss.
Somit brauchen wir die Formel $a²+b²=c²$ und müssen nur noch unsere Werte einsezten, um unser Ergebnis ausrechnen zu können:
$$ \begin{array}{lcr} 3²+3² &=& c² |√\\ √(9+9) &=& c\\ √18 &=& c\\ 4,2 &=& c\\ \end{array}$$ Somit ist unsere Seite ungefähr 4,2cm lang.

Es gibt über hundert verschiedene Beweise für den Satz des Pythagoras, ich möchte euch den Scherungsbeweis näherbringen.

³⁾

1. Zuerst scheren wir die Kathetenquadrate zu Parallelogrammen in das Dreieck ABC hinein. Die Scherungsachsen sind dabei die Seiten EA und BJ.
2. Dann drehen wir die Parallelogramme um 90° um den gemeinsamen Punkt A bzw. B.
3. Anschließend scheren wir diese zu Rechtecken in unser Hypothenusenquadrat. Die Scherungsachsen sind in diesem Fall AK und BL.
   

Und voilà - schon können wir erkennen, dass die Flächeninhalte der Kathetenquadrate dem Fächeninhalt des Hypothenusenquadrats entsprechen! ⁴⁾

Der Höhensatz des Euklid benutzt man, um in einem rechtwinkligen Dreieck eine bestimmte Höhe auszurechnen. Die Formel dazu ist h²=p·q. Doch schauen wir uns mal an, wie man überhaupt darauf kommt:

⁵⁾ Auf dem Bild kann man ein rechtwinkliges Dreieck erkennen, so, wie wir es bei dem Pythagoras zu sehen bekommen haben. In dieses Dreieck wurde eine Höhe h eingezeichnet. Sie geht durch den Punkt C und bildet am neu erschaffenden Punkt, den wir L nennen, zwei rechte Winkel. Somit wird das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke augeteilt. Auch die Seite c wird in zwei Seiten geteilt, die wir p und q nennen.
Somit wissen wir durch Anwendung des Pythagoras folgendes:

• $a²+b²=c²$ (Dreieck ABC)
  
• $q²+h²=b²$ (Dreieck ALC)
  
• $h²+p²=a²$ (Dreieck CLB)
  

Außerdem können wir festhalten, dass c=p+q ist.
Nun wollen wir aber auch eine Formel haben, die uns alles einfacher macht. Diese Formel lautet h²=p·q.
Doch wie beweisen wir das jetzt? Indem wir die oben zusammengetragenden Informationen des Dreiecks in den Satz des Pythagoras einsetzen. Das sieht dann so aus:
$a²+b²=c²$ → ersetze $a²=h²+p²$, $b²=q²+h²$ und $c=p+q$. $$\begin{array}{lcr} (h²+p²)+(q²+h²) &=& (q+p)²\\ h²+p²+q²+h² &=& q²+2qp+p² |-q²-p²\\ 2h² &=& 2pq |:2\\ h² &=& p·q\\ \end{array}$$

Gegeben sind die Seiten p=2cm und q=3cm eines rechtwinkligen Dreiecks ABC. Gesucht ist die Höhe des Dreiecks h.
Wir wenden unsere Formel $h²=p·q$ an und setzen das Gegebene ein. Dann rechnen wir diese Gleichung aus (falls es generell Schwierigkeiten beim Lösen einer Gleichung gibt, schaut hier bei Termen und Termumformungen oder hier bei Gleichungen mit einer Variabel $$ \begin{array}{lcr} h² &=& p·q\\ h² &=& 2·3\\ h² &=& 6 |√\\ h &≈& 2,45 \end{array}$$ Somit ist unsere Höhe 2,45 cm lang.

Der Kathetensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über einer Kathete genauso groß ist wie das Rechteck, welches sich aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt ergibt. Mathematisch formuliert sieht das folgenermaßen aus:

• a²=p·c
• b²=q·c

Doch warum ist das so? Die Antwort auf diese Frage bringt uns der Beweis:

Als Ausgangspunkt haben wir wieder das gleiche Dreieck wie bei dem Höhensatz gegeben.
⁶⁾ Beweisen wir zuerst a²=p·c:
$$ \begin{array}{lcr} a² &=& h² + p²\ (Satz\ des\ Pythagoras)\\ a² &=& h² + p²\ | ersetze\ h² = p · q\ (Höhensatz\ des\ Euklid)\\ a² &=& p · q + p²\ | p\ ausklammern\\ a² &=& p · (q + p)\ | p + q = c\\ a² &=& p · c \end{array}$$
Der Beweis für b²=q·c läuft ähnlich ab:
$$ \begin{array}{lcr} b² &=& q² + h²\ (Satz\ des\ Pythagoras)\\ b² &=& q² + h²\ | ersetze\ h² = p · q\ (Höhensatz\ des\ Euklid)\\ b² &=& q² + p ·q\ | q\ ausklammern\\ b² &=& q · (q + p)\ | p + q = c\\ b² &=& q · c \end{array}$$

Gegeben sind die Seiten c=10cm und p=5cm. Gesucht sind die Seiten a und b. Wir rechnen:
$$ \begin{array}{lcr} a² &=& c · p\\ a² &=& 10 · 5\\ a² &=& 50\ |√\\ a &=& 7,07\\ \end{array}$$
Somit ist die Seite a=7,07cm lang.
$$\begin{array}{lcr} c &=& p + q\\ q &=& 10cm - 5cm\\ q &=& 5cm\\ \end{array}$$
$$\begin{array}{lcr} b² &=& c · q\\ b² &=& 10 · 5\\ b² &=& 50\ |√\\ b &=& 7,07\\ \end{array}$$
Somit ist die Seite b=7,07 lang.

1. Die Katheten eines rechtwinklige Dreiecks haben die Längen a=5 cm und c=15 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse.
2. Du hast die Seiten b=5cm und c=12cm. Berechne die Seite a.
3. Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen 5 cm und 7 cm?

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1. Gegeben ist die Höhe h = 9cm und die Seite p = 2cm. Gesucht ist die Seite q.
2. Gegeben sind die Seiten $p=1\frac{4}{5}cm$ und $q=3 \frac{1}{5}cm$. Gesucht ist die Höhe h.
3. Gegeben ist die Höhe $h=2 \frac{2}{5}cm$ und die Seite $p=1\frac{4}{5}cm$. Gesucht ist die Seite q.

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1. a=?, b= 5 cm, c=?, h= 4 cm, p=?, q=?
2. a= 5cm, b= 12 cm, c= 13 cm, h=?, p=?, q=?
3. a= 3cm, b=?, c= 5cm, h=?, p=?, q=?

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