Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis

Die sogenannten Funktionen „Sinus, Kosinus und Tangens“ werden euch in der Mathematik noch sehr häufig begegnen.

Sie können benutzt werden, um mit gegebenen Größen eines rechtwinkligen Dreiecks und z.B. dem „Sinussatz“ andere, gesuchte Größen desselben Dreiecks herauszufinden. Wenn ihr das genauer erläutert haben wollt klickt auf den folgenden Link

Auf dieser Seite geht es aber darum, was der „Einheitskreis“ ist und was dieser mit den drei Funktionen zu tun hat. Ihr lernt hier also wie man bei beliebigen Winkeln Werte für „Sinus, Kosinus und Tangens“ bestimmen kann.

Sinus, Kosinus und Tangens. Was ist das überhaupt? Um das verstehen zu können muss man sich darüber im Klaren sein, was die Begriffe „Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete“ bedeuten und miteinander zu tun haben.

Definition

• Hypotenuse („H“) → die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks
• Gegenkathete („GK“) → die Seite, die gegenüber des betroffenen Winkels (hier alpha) liegt
• Ankathete („AK“) → die Seite, die am betroffenen Winkel (hier alpha) anliegt

• Sinus = GK : H
• Kosinus = AK : H
• Tangens = GK : AK

⇒ NUR bei rechtwinkligen Dreiecken

Auf dieser Seite könnt ihr einmal selbst aktiv werden. Ihr seht ein Dreieck, das dem auf dem oberen Bild ähnelt und dessen Hypotenuse (Gerade j) 1cm lang ist. Den Punkt E (und somit auch den Punkt F) könnt ihr selbst verschieben, aber damit der Radius 1 bleibt, befindet sich der Punkt immer auf dem Kreisbogen.

Die blaue Gerade (i) zeigt also den Kosinus von dem Winkel alpha und die lilane Gerade (h) zeigt den Sinus von Alpha. Beim Verschieben des Punktes E ändert sich sowohl der Winkel als auch die Sinus- und Kosinuswerte.

Allerdings ist sicherlich klar, dass man so nur die Sinus- und Kosinuswerte der Winkel von 0° bis 90° herausfinden kann.

Deshalb der Einheitskreis!

Durch diesen Einheitskreis ist es möglich, unter der Voraussetzung, dass die Hypotenuse auf 1 gesetzt ist, die Sinus- und Kosinuswerte auch für Winkel bis zu 360° oder mehr zu bestimmen.

Auf diesem Bild seht ihr ihn nochmal.

• die Hypotenuse des Dreiecks, also der Radius des Kreises ist auf 1 gesetzt
• → somit kann sowohl Höhe (Sinus) als auch Breite (Kosinus) nicht über 1 liegen
• die Sinus- und Kosinuswerte verlaufen auch im negativen Bereich und können nun für beliebig große Winkel bestimmt werden (auch Winkel über 360°)

Hier könnt ihr erneut aktiv werden!

Ihr werdet recht schnell merken, dass sich durch die Verschiebung des Punktes C sowohl der Sinuswert als auch der Kosinuswert, also die Höhe der lilanen Gerade und die Breite der blauen Gerade verändert.

Auf diesem Bild wird es nochmal deutlich!

• Der Sinuswert entspricht der Höhe
• Der Kosinuswert entspricht der Breite

Wann ist ein Sinuswert oder ein Kosinuswert positiv und wann negativ?

⇒Diese Kreuze sollte man sich nun einfach einprägen!

Dort wo das Plus ist, ist der Wert von Sinus oder Kosinus logischerweise immer positiv und dort wo das Minus ist, immer negativ.

⇒Diese Tabelle wird auch noch einmal helfen

Wie wir bei „Einleitung → Definition“ schon herausgefunden haben errechnet man den Tangens, indem man die Gegenkathete durch die Ankathete teilt.

Wie ihr sehen könnt muss die Hypotenuse dafür einfach weitergeführt werden und das solange, bis sie sich mit der Weiterführung des Punktes 1 auf der x-Achse schneidet. Diesen Schnittpunkt misst man dann auf der y-Achse ab und man erhält den Wert des Tanges!

1. Was ist der Sinus von 90°?
2. Was ist der Kosinus von 180°?
3. Was ist der Sinus von 360°?
4. Was ist der Tangens von 45°?

Lösungen

Was sind Sinus-, Kosinus und Tangensfunktionen?

Klickt auf diesen Link und findet es heraus.