Metainformationen zur Seite

Sinus- und Kosinusfunktion

Ob du es glaubst oder nicht, das Arbeiten mit diesen Funktionen kann ganz einfach sein. =)

Herleitung

Die Sinus- und Kosinusfunktion lassen sich aus dem Einheitskreis herleiten.

Hier kannst du dir diesen noch einmal genauer angucken! ;-) Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis

Je nachdem, wie groß der Winkel ∝ des rechtwinkligenDreiecks im Einheitskreis ist, verändern sich auch die x- und y- Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis. Stellt man nun die y- Koordinate abhängig vom Winkel Alpha in einem Diagramm dar, erhält man die Sinuskurve.

Das bedeutet: y= sin(∝).

Wenn man dasselbe nun auch mit der x- Koordinate macht, erhält man die Kosinuskurve.

Das bedeutet: x= cos(∝).

Gemeinsamkeiten & Allgemeines

Erst einmal ist es wichtig zu wissen, dass Sinus und Kosinusfunktionen mehrere Gemeinsamkeiten haben:

  • sie haben denselben Wertebereich (das Intervall zwischen [-1|1])
  • sie haben denselben Definitionsbereich (die reellen Zahlen)
  • und sie sind periodische Funktionen mit der Periodenlänge 2π

Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion lautet: f(x) = sin(x) und f(x) = cos(x)

Anhand dieser Grafik kann man außerdem feststellen, dass die allgemeine Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y- Achse ist, wohingegen die Sinusfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Des weiteren sind die Graphen deckungsgleich, sobald man den der Sinusfunktion um π/2 nach links, oder den der Kosinusfunktion um π/2 nach rechts verschiebt.

Diese Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion können nun durch verschiedene Parameter unterschiedlich verändert werden. Sie können sowohl in x- als auch in y- Richtung gestreckt, gestaucht und/ oder verschoben werden. Die allgemeinen Funktionsterme mit den Parametern lauten: Sinus: f(x)= a•sin(b•(x-c))+d und Kosinus: f(x)= a•cos(b•(x-c))+d

Die wichtigsten Begriffe

Um das Folgende zu verstehen, müssen ein paar Begriffe bekannt sein.

Der Hochpunkt ist das Maximum, also der höchste Punkt eines Graphens, wohingegen der Tiefpunkt den niedrigsten Wert darstellt. Ein Symmetriepunkt ist ein Schnittpunkt des Graphen mit der Symmetrieachse. Die Amplitude bezeichnet den Abstand zwischen der Symmetrieachse und einem Hoch- oder Tiefpunkt (y- Wert). Die Periode beschreibt den Abstand zwischen zwei sich wiederholenden Punkten (x- Achsenwert), z.B. zwei Hochpunkten.

Wie wird der Graph durch die verschiedenen Parameter verändert?

Im weiteren Verlauf wird nun erklärt, wie man Sinus- und Kosinusfunktionen mit den einzelnen Parameter verändern kann. Da der Einfluss der Parameter bei Sinus- und Kosinusfunktionen identisch ist, wird es hier an der Sinuskurve erklärt.

Streckung oder Stauchung in y- Richtung:

Der Parameter a ist der Streckfaktor des Graphen in y- Richtung und verändert den Wertebereich dessen, jedoch nicht die Nullstellen. Der Betrag von a ist die sogenannte Amplitude und steht als Faktor also vor dem Sinus.

f(x)= a•sin(x)

Bei |a|<1 also −1<a<1 wird der Graph in y- Richtung gestaucht, bei |a|>1 also a<−1 oder a>1 in y- Richtung gestreckt.

Da der Streckfaktor in y- Richtung die Amplitudengröße beschreibt, liest man diesen ab, indem man entweder den Abstand zwischen einem Hoch- oder Tiefpunkt und der Symmetrieachse abliest, oder den Abstand zwischen einem Tiefpunkt und einem Hochpunkt durch zwei teilt.

Verschiebung in y- Richtung:

Der Parameter d gibt an, um wieviele Einheiten der Graph an der y- Achse verschoben wird. Dabei ändert sich jedoch nicht die Periodenlänge. Diese Verschiebung in y- Richtung gibt an, wo die Symmetrieachse liegt, und steht als Summand hinter dem Sinus.

f(x)= sin(x)+d

Bei d<0 wird der Graph nach unten verschoben, bei d>0 nach oben.

Den Parameter d kann man ablesen, indem man schaut, auf welcher Höhe der y- Achse die Symmetrieachse verläuft.

Verschiebung in x- Richtung:

Der Parameter c verändert die Lage der Hoch- und Tiefpunkte und die Nullstellen des Graphen. Dabei bleibt der Wertebereich gleich. Es kann z.B. der x- Wert des ersten Symmetriepunktes abgelesen werden. Der entsprechende Wert wird dann als Subtrahend hinter das x geschrieben.

Hierbei muss auf das negative Vorzeichen in der Gleichung geachtet werden.

f(x)= sin(x−c)

Bei c<0 wird der Graph nach rechts verschoben, bei c>0 nach links.

Die Verschiebung in x- Richtung kann man ablesen, indem man guckt, um wieviel die Nullstellen oder auch die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen im Vergleich zu der Standartsinuskurve verschoben sind.

Streckung oder Stauchung in x- Richtung:

Der Parameter b stellt den Streckfaktor des Graphen in x- Richtung dar und verändert die Periodenlänge dessen. Er hat also andere Nullstellen, jedoch denselben Wertebereich, und steht am Ende als Faktor vor dem x.

f(x)=sin(b•(x))

Bei −1<b<1, b≠0 wird der Graph entlang der x- Achse gestreckt → die Periodenlänge vergrößert sich. Bei b<−1 oder b>1 wird der Graph entlang der x- Achse gestaucht → die Periodenlänge verkleinert sich.

Man berechnet diesen Streckfaktor b, indem man die Periodenlänge T der Standardsinuskurve durch die der veränderten Kurve teilt, das heißt: b= $\frac{2π}{T}$

Die Periodenlänge T lässt sich ablesen, indem man die Spanne zwischen zwei Punkten abließt, die sich immer wieder wiederholen, d.h., sie haben denselben y- Wert.

Übungsaufgabe- Parameter bestimmen

Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung des vorliegenden Graphen. Dazu musst du nacheinander die einzelnen Parameter bestimmen.

Lasse dich nicht von dem kompliziert aussehenden Graphen verunsichern! Gehe strukturiert und ruhig an die Berechnung heran! ;-)

Falls es dir eine Hilfe ist, die Standartsinuskurve vorliegen zu haben, kannst du sie einblenden, indem du links auf den Punkt neben der Sinusfunktion drückst.

Lösungsweg:

Wenn du nicht sofort weißt, wie du anfangen sollst, dann kannst du den ersten versteckten Absatz als Starthilfe benutzen.

Zum Anzeigen hier klicken ⇲

Zum Verstecken hier klicken ⇱

Schreibe dir zuerst nochmal die „Schablone“ auf, in welche du dann nach und nach die Parameter einträgst. f(x)= a•sin(b•(x-c))+d

Du kannst dir nun aussuchen, mit welchem Parameter du beginnst.

Zum Anzeigen hier klicken ⇲

Zum Verstecken hier klicken ⇱

Parameter a

=Differenz zwischen Hoch- und Tiefpunkt geteilt durch 2

$$ \begin{array}{lcr} (−1) − (−5) = 4
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} 4 ÷ 2 = 2
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} a = 2
\end{array}$$

Parameter d

= y-Achsenwert der Symmetrieachse = (y- Wert eines Hochpunktes + y- Wert eines Tiefpunktes) ÷ 2

$$ \begin{array}{lcr} −1 + (−5) = −6
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} −6 ÷ 2 = −3
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} d = −3
\end{array}$$

Parameter c

= x- Koordinate des ersten Symmetriepunktes = Differenz zwischen dem ersten Hochpunkt und dem ersten Tiefpunkt geteilt durch 2

$$ \begin{array}{lcr} \frac{π}{2} − 0 = \frac{π}{2}
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} \frac{π}{2} ÷ 2 = \frac{π}{4}
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} c = \frac{π}{4}
\end{array}$$

Parameter b

= Periodenlänge (z.B. die Spanne zwischen zwei Hochpunkten) = Differenz zwischen den jeweiligen Punkten

$$ \begin{array}{lcr} \frac{3}{2}π − \frac{π}{2} = π
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} T = π
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} b = 2π ÷ T
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} b = 2π ÷ π
\end{array}$$ $$ \begin{array}{lcr} b = 2
\end{array}$$

Nun musst du nur noch die errechneten Parameter in den Funktionsterm einsetzen, also:

2•sin(2•(x− $\frac{π}{4}$))−3

Übungsaufgabe- Graph zeichnen

Aufgabe:

Zeichne den Graphen folgender Funktion. Du kannst die Richtigkeit prüfen, indem du dir den unten einblendaren Graphen anschaust und vergleichst.

f(x)=−sin(2x−π)−1

Lösungsgraph:

Zum Anzeigen hier klicken ⇲

Zum Verstecken hier klicken ⇱