Wahrscheinlichkeitsrechnung und Co Kg mit Laplaceexperimenten und Bäumen

Wahrscheinlichkeit ist in der Mathematik ein Maß für die Sicherheit oder Unsicherheit eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment. Doch wie berechnet man sie?

Da es so am einfachsten ist möchte ich die Wahrscheinlichkeitsrechnung anhand eines Beispiels erklären. Ich gehe hierbei davon aus, dass du mit Brüchen umgehen kannst.

Für das Beispiel nutze ich einen fairen¹⁾ Würfel. Wenn dieser Würfel geworfen wird, wird er eine von 6 Zahlen zeigen. Diese nennt man Ergebnisse. Alle Ergebnisse zusammen schreibt man als Ergebnismenge Ω ²⁾ auf.

In diesem Beispiel gilt alo: Ω= {1;2;3;4;5;6}

Die Aufgabe ist, zu berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit P für das Ereignis E ist, mit einem Wurf eine 3 oder 5 zu Würfeln. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen muss nun die Anzahl (→ A) der möglichen erwünschten Ereignisse E = { 3;5 } durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse insgesamt (Ω) geteilt werden.

In diesem Beispiel gibt es 2 erwünschte mögliche Ergebnisse und 6 mögliche Ergebnisse insgesamt. Man rechnet also 2 geteilt durch 6.

$$ \begin{array}{lcr} P(E)&=&A(E)/A(Ω)\\ P(E)&=&2/6\\ P(E)&=&0,33\ldots\\ \end{array}$$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder eine 3 oder eine 5 gewürfelt wird beträgt 0,33… .
Schreibweisen:

• P(E)=0,33…
• P(E)= $\frac{1}{3}$
• Die Wahrscheinlichkeit beträgt 33,3…%. ³⁾

Anmerkung

Weiß man, dass (zum Beispiel wegen einer schwereren Seite) der Würfel immer eine 4 zeigen wird beträgt die Wahrscheinlichkeit für die restlichen 5 Zahlen 0 und die für die 4 beträgt 1.

Das waren nun einfache Zufallsexperimente bei denen jedes mögliche Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt. Sie gehören zu den Laplaceexperimenten.

1. In einer Dose befinden sich 5 rote und 3 schwarze Kugeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine rote Kugel gezogen?
2. Welche Wahrscheinlichkeit hat dieses Ereignis? Mit einem normalen Würfel wird eine 3 geworfen.
3. Von 11 von 1 bis 11 nummerierten Kugeln wird eine gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine 5,7 oder 10 ist?

Lösungen

Ein Beispiel für ein mehrstufiges Zufallsexperiment ist es, wenn man eine Münze 2-mal wirft. Wie wahrscheinlich ist es nun beide Male Kopf zu werfen?

Die Wahrscheinlichkeit 1-mal Kopf zu werfen beträgt 0,5. Doch die Chance dies 2-mal zu schaffen ist geringer, denn es gibt mehr mögliche Ergebnisse.

Wurf1: Ω= {Kopf; Zahl} Wurf2: Ω= {Kopf; Zahl}

Fasst man das zusammen können folgende Kombinationen herauskommen:

Wurf1+2: Ω= {Kopf,Kopf; Kopf,Zahl; Zahl,Kopf; Zahl,Zahl}

Das gewünschte Ereignis trifft nur in einem von 4 Fällen zu, also beträgt die Wahrscheinlichkeit 2-mal Kopf zu werfen 0,25. Doch schon, wenn man einen Würfel 2-mal wirft und wissen möchte, wie wahrscheinlich es ist, beide Male eine 6 zu haben, kann man Ω nicht einfach abzählen. Oder wenn die Bedingung ist, dass beim ersten Mal würfeln eine 3 und beim zweiten Mal eine 1 oder 4 gewürfelt werden soll.

Hierfür gibt es eine Regel.

Wenn zum Beispiel beim ersten Mal eine 3 und beim zweiten Mal eine 1 oder 4 gewürfelt werden soll, multipliziert man die Wahrscheinlichkeit vom ersten Wurf (P(E1)) mit der vom zweiten Wurf (P(E2)).

$$\begin{array}{lcr} P(E)&=&P(E1) * P(E2)\\ P(E)&=&\frac{1}{6} *\frac{2}{6}\\ P(E)&=&\frac{2}{36}&=& \frac{1}{18}\\ \end{array}$$

Um die Wahrscheinlichkeit in mehrstufige Zufallsexperimenten zu berechnen kann man Baumdiagramme nutzen.

Das sieht dann zum Beispiel so aus: Aus einer Urne, in der sich 3 rote und 4 schwarze Kugeln befinden, werden nacheinander zwei Kugeln gezogen. Die erste gezogene Kugel wird nicht in die Urne zurück gelegt. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine der Kugeln schwarz und eine der Kugeln rot ist?

An die ersten beiden Pfade schreibt man die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel rot (→ linker Weg) oder schwarz (→ rechter Weg) ist. An die Pfade vom zweiten Ziehen wird jeweils geschrieben, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist jetzt ist eine rote/schwarze Kugel zu ziehen. (Man kann die Werte auch kürzen. → von Links nach Rechts: $\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ )

Hier habe ich die beiden Wege, bei denen die Voraussetzung der Aufgabe erfüllt werden würde markiert. Um jetzt auszurechnen, wie wahrscheinlich es ist, eine rote und eine schwarze Kugel zu ziehen, muss man folgendermaßen vorgehen:

Die Voraussetzung erfüllen tuen die Wege „rot, schwarz“ und „schwarz, rot“. Nun rechnet man zunächst die Wahrscheinlichkeit dieser beiden Wege eizeln aus:

„rot, schwarz“ : $\frac{3}{7} * \frac{4}{6} = \frac{2}{7}$

„schwarz, rot“ : $\frac{4}{7} * \frac{3}{6} = \frac{2}{7}$

Da beide Wege in Frage kommen muss man jetzt nur noch die beiden Wahrscheinlichkeiten zusammenzählen, um herauszufinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei 2-mal ziehen eine rote und eine schwarze Kugel zu ziehen.

$\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass, wenn man aus einer Urne mit 3 roten und 4 schwarzen Kugeln nacheinander zwei zieht, eine davon rot und eine schwarz ist beträgt $\frac{4}{7}$ .

1. (Achtung schwierig!) Ein Glücksrad hat 7 gleich große Felder. Es gibt 1 Feld für den Hauptpreis, 2 Felder für einen Preis und 4 Felder für Nieten. Du hast genug Geld, um 3 mal zu drehen. Drehst du 1 mal den Hauptpreis oder 2 mal einen normalen Preis hast du deinen Einsatz wieder heraus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?
2. Auf einem 6-seitigen Würfel befinden sich 2 Fünfen, 3 Zweien und eine Sechs. Du würfelst 2 mal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln?
3. Du wirfst eine Münze 3 mal. Wie wahrscheinlich ist es: a) zweimal Kopf und einmal Zahl zu erhalten. b) erst Zahl, dann zweimal Kopf zu erhalten. c) mindestens einmal Kopf zu erhalten.

Lösungen:

Weitere Übungen findest du zum Beispiel auf schlaukopf.de