Das Wurzelziehen kehrt im allgemeinem das Quadrierem um. Die Wurzel einer Beispielzahl a ist diejenige Zahl, die wenn man sie mit sich selbst multipliziert, wieder a ergibt z.B. :

$3^2=9$

$\sqrt[2]{9}=3$

$3^3=27$

$\sqrt[3]{27}=3$

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$\sqrt[2]{a}$ spricht man wie folgt aus : die zweite Wurzel von a

Das gleiche gilt für Ähnliches :

$\sqrt[3]{a}$⇒ dritte Wurzel von a

$\sqrt[8]{a}$⇒ achte Wurzel von a etc.

Jedoch gibt es bei $\sqrt[2]{a}$ eine „besonderheit“ $\sqrt[2]{a}$ = $\sqrt{a}$ Diese nennt man Quadratwurzel.

Hinweis: Es gibt nur wenige Zahlen, bei denen das Wurzelziehen so einfach ist. Dies sind die Zahlen 1 ,4, 9, 16, 25, 36 etc. , da beim ziehen aus diesen Wurzeln eine natürliche Zahl raus kommt. $\sqrt{12}$ ist eine irrationale Zahl. Sie ist nicht periodisch und kann auch nicht als Bruch abgestellt werden. Die Lösung wird daher mit nachkommerstellen unendlich weitergeführt. Dabei empfiehlt sich der Einsatz eines Taschenrechners, aber immer mit dem exakten Wert weiterrechnen.

Um die Wurzelfunktion beim Taschenrechner aufzurufen sind folgende Zeichen wichtig:

ctrl $x^2$ → $\sqrt{…}$

ctrl^ → $\sqrt[a]{…}$

ctrl var (irgend ein Buchstabe) → speichert das vorherige Ergebnis

Wichtig im Umgang mit Wurzeln ist, dass man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann. $\sqrt{-a}$ geht nicht, weil beim quadrieren nie eine negative Zahl rauskommen kann z.B.

$6^\left(-2\right)=0,027\ldots$ oder $6^2=36$

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Bei einem ungeraden Wurzelexponenten erhalten wir hingegen, trotz eines negativen Radikanten, ein definierbares Ergebnis z.B.

$\sqrt[3]{-125}$ = -5

Das Ergebnis ist definierbar, weil :

$\left(-5\right)^3$ = $\left(-5\right)$•$\left(-5\right)$•$\left(-5\right)$ = -125

Ebenfalls wichtig ist, dass das Ergebnis einer geraden Wurzel sowohl positiv als auch negativ ist z.B.

$\sqrt{25}=\pm5$ weil $5^2=25$ und $\left(-5\right)^2=25$

Die Wurzel ist eine positive Zahl. Wollen wir diese Zahl negativ haben, müssen wir die Wurzel • -1 rechnen und nicht das - in die Wurzel setzen z.B.

-1•$\sqrt{16}$ = -4 und nicht $\sqrt{-16}$

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Die Wurzel aus Null ist wieder Null, da die Potenz von Null = Null ergibt

$\sqrt[x]{0}$ = 0 —→ $0^x$ = 0

Hier ein paar Übungsaufgaben

1) $\sqrt{81}$

2) $\sqrt{100}$

3) $\sqrt{16}$

4) $\sqrt[7]{128}$

5) $\sqrt{-9}$

6) $\sqrt{122}$

7) $\sqrt[2]{16}$

Lösungen ganz unten ↓

Beim Wurzelziehen gibt es auch einige Gesetze, die das Rechnen erleichtern. Hier sind sie aufgeführt :

Wurzeln multiplizieren/dividieren :

$\sqrt[n]{a}$ • $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a•b}$

$\sqrt[4]{5}•\sqrt[4]{3}=\sqrt[4]{5•3}$ = $\sqrt[4]{15}=1,967\ldots$

$\sqrt[n]{a}$ : $\sqrt[n]{b}$ = $\sqrt[n]{a:b}$

$\sqrt[3]{32}:\sqrt[3]{2}$ = $\sqrt[3]{32:2}=2,519\ldots$

Wurzeln potenzieren :

$\sqrt[n]{a^n}$ = a

$\sqrt[9]{12^9}=12$

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n$ = a

$\left(\sqrt[9]{13}\right)^9=13$

Wurzeln in Potenzen umwandeln :

$\sqrt[n]{a}$ = $a^\frac{1}{n}$

$\sqrt[3]{14}=14^\frac{1}{3}$

$\sqrt[-n]{a^d}$ = $\frac{1}{\sqrt[n]{a^d}}$

$\sqrt[-5]{4^3}=\frac{1}{\sqrt[5]{4^3}}$

Wurzeln radizieren :

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ = $\sqrt[m•n]{a}$

$\sqrt[4]{\sqrt[5]{6}}=\sqrt[4•5]{6}=\sqrt[20]{6}=1,093\ldots$

Gleichunge, wo der Exponent gegeben und der Radikant gesucht ist, lassen sich durch das Wurzelziehen lösen.

$x^4$ = 81 | $\sqrt[4]{81}$

x = 3

Bei Aufgaben, wo der Exponent unbekannt ist ( $4^x$ ) hilft Wurzelziehen nicht. Da muss man den Logarythmus verwenden.

Hier noch ein paar Übungsaufgaben

1) $\sqrt{7}$ • $\sqrt{8}$

2) $\sqrt[19]{7^19}$

3) $\sqrt[3]{\sqrt[6]{9}}$

4) $x^\left(16\right)$ = 10

5) $\left(\sqrt[9]{10}\right)^9$

6) $\sqrt{2}$ : $\sqrt{4}$

7) $\sqrt[5]{243}$ + $\sqrt[3]{216}$

Lösung Aufgabe 1

1) ± 9

2) ± 10

3) ± 4

4) ± 2

5) Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen

6) ± 11,045…

7) ± 4

Lösung Aufgabe 2

1) $\sqrt{7•8}$ = $\sqrt{56}$ = ± 7,483…

2) ± 7

3) $\sqrt[3•6]{9}$ = $\sqrt[18]{9}$ = ± 1,129…

4) $x^\left(16\right)$ = 10 | $\sqrt[16]{10}$ x = ± 1,154…

5) ± 10

6) $\sqrt{2:4}$ = ± 0,707…

7) ± 3 + ± 6 = 9 ; -9