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Zylinder, Kegel und Kegelstumpf

Zylinder

Definition

Ein Zylinder (Kreiszylinder) ist ein Körper, dessen Grundflächen Kreisflächen sind, die parallel und kongruent zueinander sind. Die Mantelfläche eines Zylinders ist gewölbt. Der Abstand der beiden Grundflächen ist die Höhe h des Zylinders.

Du weißt nicht mehr was kongruent bedeutet? Kein Problem !! Hier kannst Du es noch einmal nachlesen: Kongruente Dreiecke und Kongruenzsätze

Formeln

Volumen : V = r² * π * h

Mantelfläche : M = 2 * r * π * h

Grundfläche : G = r² * π

Oberfläche : O = 2 G + M = 2 * r² * π + 2 * r * π * h

Beispielaufgabe

Ein Rechteck mit den Seiten a = 8 cm und b = 6 cm rotiert um eine Achse, welche

(1) die Rechtecksseite a

(2) die Rechtecksseite b

enthält.

Berechne für beide Fälle Volumen, Mantelfläche und Oberfläche des jeweils erzeugten Kreiszylinders.

Zeige mir die Lösung

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(1) Der Radius des Zylinders ist b, seine Höhe a.

Volumen: V = b² * π * a

V = (6 cm)² * π * 8 cm

V = 904,78 cm³

Mantelfläche:

M = 2 * b * π * a

M = 2 * 6 cm * π * 8 cm

M = 301,59 cm²

Oberfläche:

O = 2 * b² * π + 2 * b * π * a

O = 2 * (6 cm)² * π + 2 * 6 cm * π * 8 cm

O = 527,79 cm²

(2) Der Radius des Zylinders is b, seine Höhe a.

Volumen:

V = a² * π * b

V = (8 cm)² * π * 6 cm

V = 1206,37 cm³

Mantelfläche:

M = 2 * a * π * b

M = 2 * 8 cm * π * 6 cm

M = 301,59 cm²

Oberfläche:

O = 2 * a² * π + 2 * a * π * b

O = 2 * ( 8 cm)² * π + 2 * 8 cm * π * 6 cm

O = 703,72 cm²

Zylinderschnitt

Definition

Schneidet man einen geraden Kreiszylinder mit dem Radius r durch eine Ebene schräg ab, entsteht als Schnittkurve eine Ellipse. Hat der untere Zlinderabschnitt die minimale Höhe h1 und die maximale Höhe h2,so gilt fürdie Schnittellipse

(1) große Halbachse: a = √ (r² + ½ * (h2 - h1)²)

(2) kleine Halbachse: b = r

Formeln

Volumen : V = r² * π * ½ * (h1 + h2)

Mantelfläche : M = 2 * r * π * ½ * (h1 + h2) = r * π * (h1 + h2)

Oberfläche : O = (r² + a * r) + r * π * (h1 + h2) = r * π * (r + a + h1 + h2)

Die Formeln für das Volumen und die Mantelfläche gleichen denen eines Zylinders mit der mittleren Höhe hm

hm = ½ * (h1 + h2)

Beispielaufgabe

Eine Orgelpfeife hat eine Höhe von 68 cm bei einem Durchmesser (d) von 4,3 cm. Der Pfeifenkopf ist unter 45° abgeschrägt. Berechne das Volumen und die Mantelfläche.

Zeige mir die Lösung

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Lösung

r = d/2

V = r² * π * ½ * (h1 +h2)

h1 = h2 - d * tan α h1 = 68 cm - 4,3 cm * tan 45° h1 = 63,7 cm

V = 2,15² cm² * π * ½ * (63,7 + 68) cm V = 956,3 cm³

M = r * π * (h1 + h2) M = 2,15 cm * π * (63,7 + 68) cm M = 889,6 cm²

Hohlzylinder

Definition

Besitzt ein gerader Kreiszylinder eine Bohrung entlang seiner Achse, so spricht man von einem Hohlzylinder. Für einen Hohlzylinder sind die bestimmenden Größen neben der Höhe h der Außenradius R und der Innenradius r.

Die Wanddicke b ist R - r

Formeln

Volumen : V = R² * π * h - r² * π * h = (R² - r²) * π * h

Mantelfläche (innen und außen) : M = 2 * π * (R + r) * h

Oberfläche : O = 2 * π * (R² - r²) + 2 * π * (R + r) * h = 2 * π * (R + r) * (R - r + h)

Beispielaufgabe

Für die Herstellung von Betonrohren soll Beton angemischt werden.

a) Wieviel Beton wird für ein Rohr benötigt wenn es eine Länge von 1,5 m und einen äußeren Durchmesser von 45 cm bei einer Wandstärke (s) von 4 cm hat ?

b) Wieviel m² Schalung werden für die Mantelfläche benötigt ?

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Lösung

a) V = (R² - r²) 

   r = R - s
   r = 22,5 cm - 4 cm
   r = 18,5 cm
 V = (22,5² - 18,5²) cm² * π * 150 cm
 V = 77283 cm³
 V = 0,07783 m³

b) M = 2 * π * (R + r) * h 

  M = 2 * π * (22,5 - 18,5) cm * 150cm
  M = 3769,9 cm²
  M = 0,377 m²

Kegel

Definition

In der Geometrie ist damit häufig der Spezialfall des geraden Kreiskegels gemeint. Beim Kreiskegel liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Basiskreises. Die Höhe h des Kegels ist der Abstand der Spitze von der Basisebene.

Formeln

Grundfläche : AG = r² * π

Volumen : V = ¹⁄3 * r² * π* h = ¹⁄3 * AG * h

Mantelfläche : AM = r * s * π

Oberfläche : AO = AM + AG = r * π * (r + s)

Mantellinie : s = √h² + r²

Beispielaufgabe

Ein h = 12 cm hoher Kegel hat eine Mantellinie der Länge s = 15 cm. Bestimme das Volumen, die Grund-, Mantel- und Oberfläche.

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Lösung

Der Radius der Grundfläche folgt dem Satz des Pythagoras:

s² = h² + r² ↔ r = √s² - h²

r = √(15 cm)² - (12 cm)² r = 9 cm

Volumen:

V = ¹⁄3 * π * r² * h V = ¹⁄3 * π * (9 cm)² * 12 cm V = 1017,88 cm³

Grundfläche:

AG = r² * π AG = (9 cm)² * π AG = 254,47 cm²

Mantelfläche:

AM = r * s * π AM = 9 cm * 15 cm * π AM = 424,16 cm²

Oberfläche:

AO = AG + AM AO = 254,47 cm² + 424,16 cm² AO = 678,63 cm²

Kegelstumpf

In der Geometrie steht die Bezeichnung Kegelstumpf für einen speziellen Rotationskörper. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man einem geraden Kreiskegel parallel zur Grundfläche einen kleinen Kegel abschneidet. Die größere der beiden Kreisflächen ist die Grundfläche G, die kleinere die Deckfläche D. Unter der Höhe h des Kegelstumpfs versteht man den Abstand von Grund- und Deckfläche.

Es ergibt sich für

- das Volumen : V = ¹⁄3 * h * π * (R² + R * r + r²)

- die Mantelfläche : AM = (R + r) * π * m

- die Deckfläche : AD = r² * π

- die Grundfläche : AG = R² * π

- die Oberfläche : AO = AG + AM + AD= π * [r² + R² + m * (r + R)]

- die Höhe : h = (R - r)/ tan φ

- die Mantellinie : m = √(R - r)² + h²

Beispielaufgabe

Bestimme das Volumen und die Oberfläche eines Kegelstumpfes mit den Abmessungen: D = 16 cm, d = 8 cm und h = 12 cm

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Lösung

Volumen:

V = ¹⁄3 * h * π * (R² + R * r +² V = ¹⁄3 * 12 cm * π * (8² + 8 * 4 + 4) cm² V = 1407,4 cm³

Oberfläche:

AO = AG + AM + AD= π * [r² + R² + m * (r +R)]

m = √(R - r)² + h² m = √(8 - 4)² + 12² cm² m = 12,65

AO = π * [4² + 8² + 12,65 * (4 + 8)] AO = 728,2 cm²

Übungsaufgaben

Zylinder:

a) Einem Würfel mit der Kantenlänge a = 10 cm wird ein Kreiszylinder einbeschrieben. Bestimme das Volumen und die Mantelfläche des Zylinders.

b) Zylindrische Getränkedosen sollen einen Innendurchmesser von 7,4 cm haben. Welche Höhe müssen die Zylinder haben, wenn in die Dosen 0,75 Liter Flüssigkeit eingefüllt werden und dabei das dosenvolumen um 5% größer sein soll als das Flüssigkeitsvolumen?

c) Ein zylindrischer Behälter aus Stahlblech ist offen. Er hat einen Durchmesser von 1,40 m und eine Höhe von 2,50 m. 1 m² Stahlblech wiegt 36,5 kg. wie schwer ist der leere Behälter?

d) Wie verändert sich der Mantelflächeninhalt eines Zylinders, wenn der Radius der Grundfläche verdoppelt (verdreifacht) wird ?

e) Wie verändert sich der Mantelflächeninhalt eines Zylinders, wenn der Radius und die Höhe verdoppelt (verdreifacht) werden ?

Zeige mir die Lösung

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  **Lösung**
  
  **Zylinder**
     a)        geg: r = 5 cm                                b)  geg: r = 3,7 cm
        
                        h = 10 cm                                             V = r² * π * h
         
                        
                        V = r² * π * h                                         V = 0,75 ltr + 5%
                        V = 5² cm² * π * 10 cm                          h = V/r² * π
                        V = 785,4 cm³
                        
                        M = 2 * r * π * h                                V= 750 cm³ * 1,05
                        M = 2 * 5cm * π * 10 cm                   V = 787,5 cm³
                        M = 314,2 cm²
                                                                                  h= 787,5 cm³/3,7² cm² * π
                                                                                  h = 18,31 cm
   c)   geg : r = 0,7 m                                                       d)  r1 = 1    r2 = 2    r3 = 3    h = 1
                 h = 2,5 m                                                           M = 2 * r * π * h
                 δ = 36,5 kg/m²                                                   M1 = 2 * 1 * π * 1
                 Gewicht = A * δ                                                 M1 = 6,28
                  
                 A = M + G = 2 * r * π * h + r² * π                       M2 = 2 * 2 * π * 1               
                 A = 2 * 0,7 m * π * 2,5 m + 0,7² m² * π             M2 = 12,56
                 A = 12,53 m²
                                                                                           M3 = 2 * 3 * π * 1
                 Gewicht = 12,53 m² * 36,5 kg/m²                      M3 = 18,85
                 Gewicht = 457,3 kg                                          Die Mantelfläche vedoppelt (verdreifacht) sich.
                 
                 
   
   e)         r1 = 1    r2 = 2      r3 = 3
               h1 = 1   H2 = 2     h3 = 3
               
               M = 2 * r * π * h 
               
               M1 = 2 * 1 * π * 1 
               M1 = 6,28 
               
               M2 = 2 * 2 * π * 2 
               M2 = 25,13
               
               M3 = 2 * 3 * π * 3
               M3 = 56,55
               
               Die Mantelfläche vervierfacht (verneunfacht) sich.

Zylinderschnitt

Berechne das Volumen und die Mantelfläche des abgebildeten Rohrschenkels. Das Rohr hat einen Außendurchmesser von 60 mm und Wandstärke von 3 mm.

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Lösung 

              
                geg: h2 = 200 mm    d = 60 mm 
                 h1 = h2 - d
                 h1 = 200 mm - 60 mm
                 h1 = 140 mm
                 V = (r² * π * ½ * (h1 + h2)) * 2
                 V = (30² mm² * π * ½ * (140 + 200) mm) * 2
                 V = 480663,7 mm³
                 M = (r * π * (h1 + h2) * 2
                 M = ( 30 mm * π * (140 + 200) mm) * 2
                 M = 64088 mm²</hidden>

Hohlzylinder

a) Ein Abflußrohr aus Polyethylen soll an Schellen aufgehängt werden Berechne das Gesamgewicht für 1,0 m Rohr, wenn es voll mit Wasser gefüllt ist. Das Rohr hat einen Außendurchmesser von 22 cm und eine Wandstärke (b) von 1,3 cm bei einer dichte von ℘ = 1,26 kg/cm³.

b) Ein Ring mit 10 mm Außendurchmesser, 9 mm Innendurchmesser und 5 mm Höhe besteht zu 70% aus Gold mit einer Dichte von 19,3 g/cm³ und 30% Silber mit einer Dichte von 10,5 g7cm³. Wie schwer ist der Ring?

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Lösung a) R = 11 cm h = 100 cm δ = 1,26 kg/dm³ b = 1,3 cm r = R - b r = 11 cm - 1,3 cm r = 9,7 cm V = (R² - r²) * π * h V = (11² cm² - 9,7² cm²) * π * 100 cm V = 8454 cm³ V = 8,44 dm³ Gewicht Rohr = 8,454 dm³ * 1,26 kg/dm³ Gewicht Rohr = 10,65 kg Gewicht Wasser = Vw * δw δw = 1,0 kg/dm³ Gweicht Wasser = r² * π * h * δw Gewicht Wasser = 0,97² dm² * π * 10 dm * 1,0 kg/dm³ gewicht Wasser = 29,56 kg Gewicht = Gewicht Wasser + Gewicht Rohr Gewicht = 29,55 kg + 10,65 kg Gewicht = 40,21 kg

b) geg: R = 5 mm r = 4,5 mm h = 5 mm 

           δGold = 19,3 g/cm³       δSilber = 10,5 g/cm³
            Gold = 70%                     Silber = 30%

δ Ring = 0,7 * 19,3 g/cm³ + 0,3 * 10,5 g/cm³ δ Ring = 16,66 g/cm³ V = (R² - r²) * π * h V = (0,5² cm² - 0,45² cm²) * π * 0,5 cm V = 0,0746 cm³ Gewicht = V * δ Gewicht = 0,0746 cm³ * 16,66 g/cm³ Gewicht = 1,24g

Kegel

a) Ein kegelförmiges Turmdach, bei dem die 6,5 m lange Mantellinie s unter α = 50° gegen die Grundfläche ansteigt, soll neu mit Ziegeln eingedeckt und mit einer Regenrinne umgeben werden. Wieviel m² Ziegel und wieviel m Regenrinne werden benötigt?

b) Zur Dekoration eines Schaufensters werden aus Karton Kegel hergestellt. Der Radius des Grundkreises ist 0,60 m und die mantellinie ist 1,30 m lang. Wieviel m² Karton müssen für die Herstellung eines Kegels gerechnet werden, wenn der Verschnitt nicht berücksichtigt wird ?

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a) geg: s = 6,5 m α = 50° AM = r * s * π r= cos α * s r 0 cos 50° * 6,5 m r = 4,18 m AM = 4,18 m * 6,5 m * π AM = 85,36 m² Ziegel U = 2 * r * π U = 2 * 4,18 m * π U = 26,26 m Regenrinne

b) geg: r = 0,6 m s = 1,30 m AO = r * π * (r + s) AO = 0,60 m * π * (0,6 + 1,30) m AO = 3,58 m²

Kegelstumpf

Ein Kegelstumpf hat die folgenden Abmessungen: D = 14 cm, d = 8 cm und h = 9 cm. Bestimme das Volumen und die Oberfläche.

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Lösung geg: R = 7 cm r = 4 cm h = 9 cm V = ¹⁄3 * h * π * (R² + R * r + r²) V = ¹⁄3 * 9 cm * π * (7² cm² + 7 cm * 4 cm + 4² cm²) V = 876,5 cm³

AO = π * [r² + R² + m * (r + R)] m = √(R - r)²/h² m = √(7 cm - 4 cm)²/9² cm² m = 0,333 AO = π * [4² cm² + 7² cm² + 0,333 cm * (4 cm + 7 cm)] AO = 215,71 cm²

Weitere Übungen

   http://www.mathe-trainer.de/Klasse10/Koerperberechnungen/Block5/Aufgaben.htm           
   http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/koerper/zylinder.shtml
   https://www.schulminator.com/mathematik/aufgaben/prisma-zylinder-pyramide-kegel-uebungen-und-aufgaben-mit-loesungen