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Zylinder, Kegel und Kegelstumpf
Zylinder
Definition
Ein Zylinder (Kreiszylinder) ist ein Körper, dessen Grundflächen Kreisflächen sind, die parallel und kongruent zueinander sind. Die Mantelfläche eines Zylinders ist gewölbt. Der Abstand der beiden Grundflächen ist die Höhe h des Zylinders.
Formeln
Mantelfläche : M = 2 * r * π * h
Grundfläche : G = r² * π
Oberfläche : O = 2 G + M = 2 * r² * π + 2 * r * π * h
Beispielaufgabe
Ein Rechteck mit den Seiten a = 8 cm und b = 6 cm rotiert um eine Achse, welche
(1) die Rechtecksseite a
(2) die Rechtecksseite b
enthält.
Berechne für beide Fälle Volumen, Mantelfläche und Oberfläche des jeweils erzeugten Kreiszylinders.
Zylinderschnitt
Schneidet man einen geraden Kreiszylinder (Radius r) mit einer Ebene schräg ab, entsteht als Schnittkurve eine Ellipse. Hat der untere Zlinderabschnitt die minimale Höhe h1 und die maximale Höhe h2,so hat die
Schnittellipse
die große Halbachse a = √ (r² + ½ * (h2 - h1)²)
und die kleine Halbachse b = r
β = Neigungswinkel der Schnitteergibt sich für
- die Mantelfläche : M = 2 * r * π * ½ * (h1 + h2) = r * π * (h1 + h2)
- die Oberfläche : O = (r² + a * r) + r * π * (h1 + h2) = r * π * (r + a + h1 + h2)
Das Volumen und die Mantelfläche sind gleich dem Zylinders mit der mittleren Höhe hm = ½ * (h1 + h2)
Beispiel
Eine Orgelpfeife hat eine Höhe von 68 cm bei einem Durchmesser (d) von 4,3 cm. Der Pfeifenkopf ist unter 45° abgeschrägt. Berechne das Volumen und die Mantelfläche.
Lösung
r = d/2
V = r² * π * ½ * (h1 +h2)
h1 = h2 - d * tan α h1 = 68 cm - 4,3 cm * tan 45° h1 = 63,7 cm
V = 2,15² cm² * π * ½ * (63,7 + 68) cm V = 956,3 cm³
M = r * π * (h1 + h2) M = 2,15 cm * π * (63,7 + 68) cm M = 889,6 cm²
Hohlzylinder
Besitzt ein gerader Kreiszylinder eine Bohrung entlang seiner Achse, so spricht man von einem Hohlzylinder. Für einen Hohlzylinder sind die bestimmenden Größen neben der Höhe h der Außenradius R und der Innenradius r.
Die Wanddicke b ist somit R - r
Es ergibt sich für
- die Mantelfläche (innen und außen) : M = 2 * π * (R + r) * h
- die Oberfläche : O = 2 * π * (R² - r²) + 2 * π * (R + r) * h = 2 * π * (R + r) * (R - r + h)
Beispiel:
Für die Herstellung von Betonrohren soll Beton angemischt werden.
a) Wieviel Beton wird für ein Rohr benötigt wenn es eine Länge von 1,5 m und einen äußeren Durchmesser von 45 cm bei einer Wandstärke (s) von 4 cm hat ?
b) Wieviel m² Schalung werden für die Mantelfläche benötigt ?
Lösung
a) V = (R² - r²)
r = R - s r = 22,5 cm - 4 cm r = 18,5 cm
V = (22,5² - 18,5²) cm² * π * 150 cm V = 77283 cm³ V = 0,07783 m³
b) M = 2 * π * (R + r) * h
M = 2 * π * (22,5 - 18,5) cm * 150cm M = 3769,9 cm² M = 0,377 m²
Kegel
In der Geometrie ist damit häufig der Spezialfall des geraden Kreiskegels gemeint. Beim Kreiskegel liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Basiskreises. Die Höhe h des Kegels ist der Abstand der Spitze von der Basisebene.
Es ergibt sich für
- das Volumen : V = ¹⁄3 * r² * π* h
= ¹⁄3 * AG * h
- die Mantelfläche : AM = r * s * π
- die Oberfläche : AO = AM + AG = r * π * (r + s)
- die Mantellinie : s = √h² + r²
Beispiel
Ein h = 12 cm hoher Kegel hat eine Mantellinie der Länge s = 15 cm. Bestimme das Volumen, die Grund-, Mantel- und Oberfläche.
Lösung
Der Radius der Grundfläche folgt dem Satz des Pythagoras:
s² = h² + r² ↔ r = √s² - h²
r = √(15 cm)² - (12 cm)² r = 9 cm
Volumen:
V = ¹⁄3 * π * r² * h V = ¹⁄3 * π * (9 cm)² * 12 cm V = 1017,88 cm³
Grundfläche:
AG = r² * π AG = (9 cm)² * π AG = 254,47 cm²
Mantelfläche:
AM = r * s * π AM = 9 cm * 15 cm * π AM = 424,16 cm²
Oberfläche:
AO = AG + AM AO = 254,47 cm² + 424,16 cm² AO = 678,63 cm²
Kegelstumpf
In der Geometrie steht die Bezeichnung Kegelstumpf für einen speziellen Rotationskörper. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man einem geraden Kreiskegel parallel zur Grundfläche einen kleinen Kegel abschneidet. Die größere der beiden Kreisflächen ist die Grundfläche G, die kleinere die Deckfläche D. Unter der Höhe h des Kegelstumpfs versteht man den Abstand von Grund- und Deckfläche.
Es ergibt sich für
- die Mantelfläche : AM = (R + r) * π * m
- die Deckfläche : AD = r² * π
- die Grundfläche : AG = R² * π
- die Oberfläche : AO = AG + AM + AD= π * [r² + R² + m * (r + R)]
- die Höhe : h = (R - r)/ tan φ
- die Mantellinie : m = √(R - r)² + h²
Beispiel
Bestimme das Volumen und die Oberfläche eines Kegelstumpfes mit den Abmessungen: D = 16 cm, d = 8 cm und h = 12 cm
Lösung
Volumen:
V = ¹⁄3 * h * π * (R² + R * r +² V = ¹⁄3 * 12 cm * π * (8² + 8 * 4 + 4) cm² V = 1407,4 cm³
Oberfläche:
AO = AG + AM + AD= π * [r² + R² + m * (r +R)]
m = √(R - r)² + h² m = √(8 - 4)² + 12² cm² m = 12,65
AO = π * [4² + 8² + 12,65 * (4 + 8)] AO = 728,2 cm²
Übungsaufgaben
Übungsaufgabe Zylinder
Zylinder:
a) Einem Würfel mit der Kantenlänge a = 10 cm wird ein Kreiszylinder einbeschrieben. Bestimme das Volumen und die Mantelfläche des Zylinders.
b) Zylindrische Getränkedosen sollen einen Innendurchmesser von 7,4 cm haben. Welche Höhe müssen die Zylinder haben, wenn in die Dosen 0,75 Liter Flüssigkeit eingefüllt werden und dabei das dosenvolumen um 5% größer sein soll als das Flüssigkeitsvolumen?
c) Ein zylindrischer Behälter aus Stahlblech ist offen. Er hat einen Durchmesser von 1,40 m und eine Höhe von 2,50 m. 1 m² Stahlblech wiegt 36,5 kg. wie schwer ist der leere Behälter?
d) Wie verändert sich der Mantelflächeninhalt eines Zylinders, wenn der Radius der Grundfläche verdoppelt (verdreifacht) wird ?
e) Wie verändert sich der Mantelflächeninhalt eines Zylinders, wenn der Radius und die Höhe verdoppelt (verdreifacht) werden ?
Zylinderschnitt
Berechne das Volumen und die Mantelfläche des abgebildeten Rohrschenkels. Das Rohr hat einen Außendurchmesser von 60 mm und Wandstärke von 3 mm.
Übungsaufgabe Zylinder 2
Zylinderschnitt
Berechne das Volumen und die Mantelfläche des abgebildeten Rohrschenkels. Das Rohr hat einen Außendurchmesser von 60 mm und Wandstärke von 3 mm.